長方形ABCDがあり、AB=14cm, BC=20cmである。点PはAを出発し、長方形ABCDの辺上を毎秒1cmで動き、A→B→C→Dと動く。図2は、点PがAを出発してからの時間x秒後の三角形APDの面積をy $cm^2$としたグラフである。 (1) 点PがAを出発してから3秒後の線分APの長さを求める。 (2) 点Pが辺BCを動くのは何秒間か求める。 (3) 図3は図1において、辺CD上に点EをCE=6cmとなるようにとったものである。三角形APDの面積が2回目に90$cm^2$になる時、点Pは線分CE上と、線分DE上のどちらにあるかを説明する。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=14cm, BC=20cmである。点PはAを出発し、長方形ABCDの辺上を毎秒1cmで動き、A→B→C→Dと動く。図2は、点PがAを出発してからの時間x秒後の三角形APDの面積をy $cm^2$としたグラフである。

(1) 点PがAを出発してから3秒後の線分APの長さを求める。

(2) 点Pが辺BCを動くのは何秒間か求める。

(3) 図3は図1において、辺CD上に点EをCE=6cmとなるようにとったものである。三角形APDの面積が2回目に90$cm^2$になる時、点Pは線分CE上と、線分DE上のどちらにあるかを説明する。

2. 解き方の手順

(1) 点Pは毎秒1cmで動くので、3秒後のAPの長さは $3 \times 1 = 3$ cm。

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、図2よりxの値は14から34まで変化する。

よって、$34-14=20$秒間、点Pは辺BC上を動く。

(3) 図2のグラフより、三角形APDの面積が2回目に90 $cm^2$になるのは、19 $\le x \le$ 39の時である。

この時、$y = \frac{1}{2} \times AD \times PからADへの距離$だから

$y = \frac{1}{2} \times 14 \times PからADへの距離$

$y = 7 \times PからADへの距離$

ゆえに、$PからADへの距離 = \frac{y}{7}$

$y=90$の時、$PからADへの距離 = \frac{90}{7}$

点Pが点Eを通過するのは、点PがAを出発してから34 + 6 = 40秒後である。

これは変域外なので、点Pは線分DE上にある。

(オ) はDEとなる。

(ア) は$y=\frac{10}{7}x+\frac{1}{7}$

(イ) は$\frac{10}{7}x+\frac{1}{7}$

(ウ) は 90を代入すると、 $\frac{90}{7}=\frac{10}{7}x+\frac{1}{7}$

$\frac{89}{7} = \frac{10}{7}x$

$x=8.9$秒

(エ) が19 $\le x \le$ 39なので、点PはDE上にある。

3. 最終的な答え

(1) 3cm

(2) 20秒

(3) CE