正四面体ABCDの各辺の中点をP, Q, R, S, T, Uとする。この正四面体を平面PQR, RSU, PST, QTUで切ったときにできる立体PQRSTUが正八面体であることを示す問題です。
2025/4/13
1. 問題の内容
正四面体ABCDの各辺の中点をP, Q, R, S, T, Uとする。この正四面体を平面PQR, RSU, PST, QTUで切ったときにできる立体PQRSTUが正八面体であることを示す問題です。
2. 解き方の手順
正八面体であることを示すには、PQRSTUが8つの面を持ち、各面が正三角形であることを示す必要があります。
* **P, Q, R, S, T, U が各辺の中点であることの確認:** 問題文より、P, Q, R, S, T, Uはそれぞれ辺AB, AD, CD, BC, AC, BDの中点です。
* **PQRSTU の辺の長さ:** 中点連結定理を利用します。例えば、PQは三角形ABDの中点連結線なので、BDの半分です。同様に、PRはBCの半分です。正四面体なので、全ての辺の長さが等しいです。したがって、PQ=PR=RS=ST=TU=UQとなります。またPS, QT, RUも同じ長さになります。これらのことを考えると、PQRSTU のすべての辺の長さが等しいことがわかります。
* **PQRSTUの面が三角形であることの確認:** 平面PQR, RSU, PST, QTUで切ることによって作られるため、各面は三角形であることがわかります。例えば、面PQRは三角形です。同様に、RQUなどの他の面も三角形であることがわかります。
* **PQRSTUの面が正三角形であることの確認:** 上記から、PQRSTUの全ての辺の長さが等しいことがわかりました。またPQRSTUの各面は三角形です。したがって、各面は正三角形であることがわかります。
* **PQRSTUの面の数が8個であることの確認:** 正四面体ABCDを平面PQR, RSU, PST, QTUで切断することにより、PQRSTUは８つの正三角形を面として持つ立体となります。
以上のことから、PQRSTUは８つの面を持ち、各面が正三角形であるため、正八面体であるといえます。
3. 最終的な答え
立体PQRSTUは正八面体である。