直角三角形ABCにおいて、点PがAを出発し、辺AB上をBを通り、辺BC上を通ってCまで、秒速1cmで移動する。点PがAを出発してからx秒後の△APCの面積をy cm$^2$とする。 (1) 点PがAを出発してから3秒後のyの値を求める。 (2) 点Pが辺AB上を動くときのxとyの関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。 (3) 点Pが辺BC上を動くときのxの範囲を求め、CPの長さをxの式で表し、yをxの式で表す。

## 回答

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点PがAを出発し、辺AB上をBを通り、辺BC上を通ってCまで、秒速1cmで移動する。点PがAを出発してからx秒後の△APCの面積をy cm$^2$とする。

(1) 点PがAを出発してから3秒後のyの値を求める。

(2) 点Pが辺AB上を動くときのxとyの関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。

(3) 点Pが辺BC上を動くときのxの範囲を求め、CPの長さをxの式で表し、yをxの式で表す。

2. 解き方の手順

(1) 点PがAを出発してから3秒後の位置は、AB上にあり、Aから3cmの距離にある。

このとき、△APCの底辺をAPとすると、高さはBC=4cmである。

したがって、面積yは、$y = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ となる。

(2) 点Pが辺AB上を動くとき、 $0 \leq x \leq 10$ である。

また、面積$y$は$x$に比例し、点PがBに到着するときの$x=10$のとき、$y = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20$ となる。

したがって、グラフは原点を通る直線となり、$x$が大きくなると$y$も大きくなるグラフなので、選択肢④が正しい。

(3) 点Pが辺BC上を動くとき、点PがBに到着するのはAを出発してから10秒後、点PがCに到着するのはAを出発してから10+4=14秒後なので、$10 \leq x \leq 14$ である。

CPの長さは、BCの長さ4cmからBPの長さを引いたものなので、$CP = 14 - x$ cmとなる。

このとき、△APCの底辺をCPとすると、高さはAB=10cmである。

したがって、面積yは、$y = \frac{1}{2} \times (14 - x) \times 10 = 5(14 - x) = 70 - 5x = -5x + 70$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) ④

(3) $10 \leq x \leq 14$, $CP = (14 - x)$ cm, $y = -5x + 70$