$\theta$を鋭角とし、$\tan{\theta} = 3$のとき、$\cos{\theta}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$を鋭角とし、$\tan{\theta} = 3$のとき、$\cos{\theta}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$の関係と、$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$の関係を利用する。

$\tan{\theta} = 3$より、$\sin{\theta} = 3\cos{\theta}$である。

これを$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$に代入すると、

$(3\cos{\theta})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$9\cos^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$10\cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{10}$

$\cos{\theta} = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos{\theta} > 0$であるから、

$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10}}{10}$