長方形ABCDにおいて、AB=4cm、BC=6cmである。点Pは秒速1cmでAD上をAからDへ移動し、点Qは秒速2cmでBC上をB、C間を往復運動する。PとQはA、Bを同時に出発し、PがDに到達したときQの運動も終わる。(1)QがCに到達する時間とPQの長さを求めよ。(2)PとQの運動が終わる時間とPQの長さを求めよ。(3)PQ=4cmとなる時間を求めよ。(4)出発からx秒後、四角形ABQPの面積が長方形ABCDの面積の2/3になるとき、AP+BQの値とxの値を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=4cm、BC=6cmである。点Pは秒速1cmでAD上をAからDへ移動し、点Qは秒速2cmでBC上をB、C間を往復運動する。PとQはA、Bを同時に出発し、PがDに到達したときQの運動も終わる。(1)QがCに到達する時間とPQの長さを求めよ。(2)PとQの運動が終わる時間とPQの長さを求めよ。(3)PQ=4cmとなる時間を求めよ。(4)出発からx秒後、四角形ABQPの面積が長方形ABCDの面積の2/3になるとき、AP+BQの値とxの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) QがCに到達するのは、BCの半分の距離を進むとき。BC=6cmなので、進む距離は3cm。秒速2cmなので、時間は$3/2 = 1.5$秒。このときAP=1.5cm, BQ=3cm。PQの長さを求める。

線分PQの長さは、三平方の定理より、

$PQ = \sqrt{AB^2 + (BQ-AP)^2} = \sqrt{4^2 + (3-1.5)^2} = \sqrt{16 + 2.25} = \sqrt{18.25}$

$PQ=\sqrt{18.25} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$

(2) PがDに到達するのは、AD=6cmなので、時間は$6/1 = 6$秒。

このときBQは、B→C→B→...という運動をしている。6秒で$6 \times 2 = 12$cm進む。

BCの長さが6cmなので、QはBを出発してCに1回、Bに1回戻って、再びCに到達している。つまり、Bから距離は0cmの場所なので、Bにいる。

AP = 6cm, BQ = 0cm。よって$PQ = \sqrt{AB^2 + (BQ-AP)^2} = \sqrt{4^2 + (0-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

(3) t秒後のAP=t, BQ=2t。$PQ = \sqrt{AB^2 + (BQ-AP)^2} = \sqrt{4^2 + (2t-t)^2} = \sqrt{16 + t^2} = 4$

$16 + t^2 = 16$

$t^2 = 0$

$t = 0$

また、t秒後にQがCを折り返してBに戻る場合も考える必要がある。

t秒後、Qは$2t$cm進んでいる。QがBCを往復する場合、$2t > 6$となる。

$Q$が折り返す前の時間を$t_1$とすると、$0 < t_1 < 3$。

折り返してBに戻る場合は、$t_2 = t - t_1$秒後。その時、Bからの距離は$6 - 2(t - 3) = 12 - 2t$となる。

$PQ = \sqrt{4^2 + (t - (12 - 2t))^2} = \sqrt{16 + (3t - 12)^2} = 4$

$16 + (3t - 12)^2 = 16$

$(3t - 12)^2 = 0$

$3t - 12 = 0$

$3t = 12$

$t = 4$

しかし、$3 < t < 6$を満たす必要があるため、$t = 4$は条件を満たす。

(4) 四角形ABQPの面積は、長方形ABCDの面積の2/3。

長方形ABCDの面積は、$4 \times 6 = 24$

四角形ABQPの面積は、$24 \times \frac{2}{3} = 16$

AP = x, BQ = 2x。

四角形ABQPは台形なので、面積は$\frac{1}{2}(AP + BQ) \times AB = \frac{1}{2}(x + 2x) \times 4 = 2(3x) = 6x$

$6x = 16$

$x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

ただし、QがCを折り返してBに戻る場合は、BQ = 12 - 2xとなる。

$\frac{1}{2}(x + 12 - 2x) \times 4 = 16$

$(12 - x) \times 2 = 16$

$12 - x = 8$

$x = 4$

ア) AP + BQの値を求める。

$x = \frac{8}{3}$のとき、$AP + BQ = \frac{8}{3} + 2 \times \frac{8}{3} = \frac{8}{3} + \frac{16}{3} = \frac{24}{3} = 8$

$x = 4$のとき、$AP + BQ = 4 + (12 - 2 \times 4) = 4 + 12 - 8 = 8$

イ) xの値を求める。

$x = \frac{8}{3}$または$x = 4$

3. 最終的な答え

(1)

1. 5秒後、$\frac{\sqrt{73}}{2}$cm

(2) 6秒後、$2\sqrt{13}$cm

(3) 0秒後、4秒後

(4) (ア) 8 (イ) $\frac{8}{3}$, 4