円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=5$, $AD=3$, $\angle BAD = 120^\circ$である。対角線ACは$\angle BAD$を二等分する。以下の問いに答えよ。 (1) 対角線BDの長さを求めよ。 (2) $\triangle BCD$の面積を求めよ。 (3) 対角線ACの長さを求めよ。また, $\sin \angle ABC$の値を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=5$, $AD=3$, $\angle BAD = 120^\circ$である。対角線ACは$\angle BAD$を二等分する。以下の問いに答えよ。

(1) 対角線BDの長さを求めよ。

(2) $\triangle BCD$の面積を求めよ。

(3) 対角線ACの長さを求めよ。また, $\sin \angle ABC$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD$において余弦定理を用いる。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD$

$BD^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ$

$BD^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 34 + 15 = 49$

$BD = 7$

よって、対角線BDの長さは7である。

(2) 四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\triangle BCD$の面積を$S$とすると、$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin \angle BCD$となる。

余弦定理より、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD$

$7^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos 60^\circ$

$49 = BC^2 + CD^2 - BC \cdot CD$

しかし、これだけでは面積を求めることができない。

$\angle BAC = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$

$\triangle ABC$において正弦定理より、$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = \frac{AB}{\sin \angle ACB}$.

$\triangle ADC$において正弦定理より、$\frac{CD}{\sin \angle CAD} = \frac{AD}{\sin \angle ACD}$.

円に内接する四角形なので、$\angle ACB = \angle ADB$および$\angle ACD = \angle ABD$が成り立つ。

$\angle ADB = \alpha$、$\angle ABD = \beta$とすると、$\angle ACB = \alpha$、$\angle ACD = \beta$となる。

$BC = \frac{5 \sin 60^\circ}{\sin \alpha}$、$CD = \frac{3 \sin 60^\circ}{\sin \beta}$

$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$より$\angle BCD = 60^\circ$

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 BC CD \cos(60^\circ)$

$49 = BC^2 + CD^2 - BC CD$

問題文の条件だけでは、$\triangle BCD$の面積は一意に定まらない。仮に$BC=CD=x$とすると、$49 = x^2 + x^2 - x^2 = x^2$となり、$x=7$.

このとき、$\triangle BCD = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7 \cdot \sin 60^\circ = \frac{49 \sqrt{3}}{4}$.

(3) $\triangle ABD$において、$\angle BAC = \angle CAD = 60^{\circ}$

$\triangle ABC$の面積+$\triangle ADC$の面積=$\triangle ABD$の面積である。

$\triangle ABD$の面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin 120^\circ = \frac{15 \sqrt{3}}{4}$

$AC = x$とする。$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot x \cdot \sin 60^\circ = \frac{5x \sqrt{3}}{4}$.

$\triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC \cdot \sin \angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x \cdot \sin 60^\circ = \frac{3x \sqrt{3}}{4}$.

$\frac{5x \sqrt{3}}{4} + \frac{3x \sqrt{3}}{4} = \frac{15 \sqrt{3}}{4}$

$8x = 15$

$x = \frac{15}{8}$

$\sin \angle ABC$を求める。四角形ABCDが円に内接するため、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$.

$\triangle ABC$において正弦定理より、$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$.

$\frac{15/8}{\sin \angle ABC} = 2R$.

$\triangle ADC$において正弦定理より、$\frac{AC}{\sin \angle ADC} = 2R$.

$\frac{15/8}{\sin (180^\circ - \angle ABC)} = 2R$.

余弦定理より$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC\cos(\angle ABC)$

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD\cdot CD\cos(\angle ADC)$

$AC^2 = 225/64$

最終的な答え

(1) $BD = 7$

(2) $\frac{49\sqrt{3}}{4}$ (仮に$BC=CD$)

(3) $AC = \frac{15}{8}$, $\sin \angle ABC$の値は求まらない。