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(4) 直角三角形ABCにおいて、sinB, cosB, tanB, sinA, cosA, tanAの値を求めよ。 (5) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ において、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。 (6) 木の根元から水平に12m離れた地点から、木の先端を見上げると、水平面とのなす角が25°であった。目の高さが地面から1.5mだとすると、木の高さは何mであるか。ただし、答えは小数第2位を四捨五入すること。また、$\sin 25^\circ = 0.42$, $\cos 25^\circ = 0.91$, $\tan 25^\circ = 0.47$を用いること。

幾何学三角比三角関数直角三角形三平方の定理
2025/4/4
## 問題の回答

1. 問題の内容

(4) 直角三角形ABCにおいて、sinB, cosB, tanB, sinA, cosA, tanAの値を求めよ。
(5) 0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ において、sin⁡θ=13\sin \theta = \frac{1}{3} のとき、cos⁡θ\cos \theta と tan⁡θ\tan \theta の値を求めよ。
(6) 木の根元から水平に12m離れた地点から、木の先端を見上げると、水平面とのなす角が25°であった。目の高さが地面から1.5mだとすると、木の高さは何mであるか。ただし、答えは小数第2位を四捨五入すること。また、sin⁡25∘=0.42\sin 25^\circ = 0.42, cos⁡25∘=0.91\cos 25^\circ = 0.91, tan⁡25∘=0.47\tan 25^\circ = 0.47を用いること。

2. 解き方の手順

(4)
* 三角形の各辺の長さを確認する。BC=4, AC=

2. * 三平方の定理より、ABの長さを求める。$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

* 三角比の定義に従って、各値を計算する。
* sin⁡B=ACAB=225=15=55\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}
* cos⁡B=BCAB=425=25=255\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
* tan⁡B=ACBC=24=12\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
* sin⁡A=BCAB=425=25=255\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
* cos⁡A=ACAB=225=15=55\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}
* tan⁡A=BCAC=42=2\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{2} = 2
(5)
* 三角比の相互関係を利用する。
* sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より、cos⁡θ=1−sin⁡2θ\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}
* cos⁡θ=1−(13)2=1−19=89=223\cos \theta = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
* tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} より、
* tan⁡θ=13223=122=24\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}
(6)
* 木の高さから目の高さを引いた値をhとする。
* tan⁡25∘=h12\tan 25^\circ = \frac{h}{12} なので、h=12tan⁡25∘h = 12 \tan 25^\circ
* h=12×0.47=5.64h = 12 \times 0.47 = 5.64
* 木の高さはh+1.5h + 1.5なので、5.64+1.5=7.145.64 + 1.5 = 7.14
* 小数第2位を四捨五入すると、7.1となる。

3. 最終的な答え

(4)
* sin⁡B=55\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}
* cos⁡B=255\cos B = \frac{2\sqrt{5}}{5}
* tan⁡B=12\tan B = \frac{1}{2}
* sin⁡A=255\sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5}
* cos⁡A=55\cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}
* tan⁡A=2\tan A = 2
(5)
* cos⁡θ=223\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}
* tan⁡θ=24\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}
(6)
* 7.1 m

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