加法定理を用いて、$\tan 105^\circ$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、$\tan 105^\circ$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$105^\circ$ を既知の角度の和または差で表します。ここでは、$105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ とします。

$\tan (A+B)$ の加法定理は次の通りです。

$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

この公式に $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$ を代入します。

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ であり、 $\tan 45^\circ = 1$ であることを利用します。

$\tan 105^\circ = \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分母・分子に $(1 + \sqrt{3})$ を掛けます。

$\tan 105^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} + 3 + 1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{2\sqrt{3} + 4}{-2} = -\sqrt{3} - 2 = -2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}$