問題は全部で5問あります。 (1) 2つの平面 $6x+2y-3z+4=0$ と $-9x+4y+z+4=0$ のなす角を求める。 (2) 2つの平面 $kx+2y-3z+4=0$ と $-9x+(k+2)y+z+4=0$ が垂直になるような定数 $k$ の値を求める。 (3) 点 $(1, -2, 2)$ と平面 $x-3y-5z+1=0$ の距離を求める。 (4) 点 $(2, 1, -9)$ を中心とする半径7の球の方程式を求める。 (5) 方程式 $x^2+y^2+z^2+8x-4y-2z=0$ で表される球の中心と半径を求める。

1. 問題の内容

問題は全部で5問あります。

(1) 2つの平面 $6x+2y-3z+4=0$ と $-9x+4y+z+4=0$ のなす角を求める。

(2) 2つの平面 $kx+2y-3z+4=0$ と $-9x+(k+2)y+z+4=0$ が垂直になるような定数 $k$ の値を求める。

(3) 点 $(1, -2, 2)$ と平面 $x-3y-5z+1=0$ の距離を求める。

(4) 点 $(2, 1, -9)$ を中心とする半径7の球の方程式を求める。

(5) 方程式 $x^2+y^2+z^2+8x-4y-2z=0$ で表される球の中心と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの平面のなす角は、法線ベクトルのなす角に等しい。平面 $ax+by+cz+d=0$ の法線ベクトルは $\vec{n}=(a, b, c)$ である。

平面 $6x+2y-3z+4=0$ の法線ベクトルは $\vec{n_1} = (6, 2, -3)$

平面 $-9x+4y+z+4=0$ の法線ベクトルは $\vec{n_2} = (-9, 4, 1)$

2つのベクトルのなす角 $\theta$ は、

$\cos\theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 6(-9) + 2(4) + (-3)(1) = -54 + 8 - 3 = -49$

$|\vec{n_1}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{36+4+9} = \sqrt{49} = 7$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{(-9)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{81+16+1} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$

$\cos\theta = \frac{-49}{7 \cdot 7\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta = \frac{3\pi}{4}$ または $135^\circ$

(2) 2つの平面が垂直であるとき、法線ベクトルも垂直になる。つまり、法線ベクトルの内積が0になる。

平面 $kx+2y-3z+4=0$ の法線ベクトルは $\vec{n_1} = (k, 2, -3)$

平面 $-9x+(k+2)y+z+4=0$ の法線ベクトルは $\vec{n_2} = (-9, k+2, 1)$

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$

$k(-9) + 2(k+2) + (-3)(1) = 0$

$-9k + 2k + 4 - 3 = 0$

$-7k + 1 = 0$

$7k = 1$

$k = \frac{1}{7}$

(3) 点 $(x_0, y_0, z_0)$ と平面 $ax+by+cz+d=0$ の距離 $D$ は、

$D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

点 $(1, -2, 2)$ と平面 $x-3y-5z+1=0$ の距離は、

$D = \frac{|1 - 3(-2) - 5(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2}} = \frac{|1 + 6 - 10 + 1|}{\sqrt{1+9+25}} = \frac{|-2|}{\sqrt{35}} = \frac{2}{\sqrt{35}} = \frac{2\sqrt{35}}{35}$

(4) 中心 $(a, b, c)$ 、半径 $r$ の球の方程式は、 $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$

中心 $(2, 1, -9)$ 、半径7の球の方程式は、

$(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+9)^2 = 7^2$

$(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+9)^2 = 49$

(5) $x^2+y^2+z^2+8x-4y-2z=0$ を平方完成する。

$(x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) + (z^2 - 2z) = 0$

$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 2z + 1) = 16 + 4 + 1$

$(x+4)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 21$

よって、中心は $(-4, 2, 1)$ 、半径は $\sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3\pi}{4}$ または $135^\circ$

(2) $k = \frac{1}{7}$

(3) $\frac{2\sqrt{35}}{35}$

(4) $(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+9)^2 = 49$

(5) 中心 $(-4, 2, 1)$ 、半径 $\sqrt{21}$