(3) 円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線AB, CDの交点をPとする。PA=12, PB=5, CD=4であるとき、PCの長さを求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

(3) 円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線AB, CDの交点をPとする。PA=12, PB=5, CD=4であるとき、PCの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用する。

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立つ。

$PA = 12$, $PB = 5$, $CD = 4$ より、$PD = PC + CD = PC + 4$ である。

したがって、

$12 \cdot 5 = PC \cdot (PC + 4)$

$60 = PC^2 + 4PC$

$PC^2 + 4PC - 60 = 0$

この2次方程式を解く。

$(PC + 10)(PC - 6) = 0$

$PC = -10, 6$

PCは長さなので正の値である。

3. 最終的な答え

PC = 6