円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線ABとCDの交点をPとする。$PB = AB$、$PC = 5$、$CD = 3$のとき、$AB$の長さを求める。

## 問題 4

1. 問題の内容

円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線ABとCDの交点をPとする。$PB = AB$、$PC = 5$、$CD = 3$のとき、$AB$の長さを求める。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用する。

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立つ。

ここで、$PA = AB + PB$、$PB = AB$、$PC = 5$、$PD = PC + CD = 5 + 3 = 8$である。

したがって、

$(AB + AB) \cdot AB = 5 \cdot 8$

$2AB \cdot AB = 40$

$2AB^2 = 40$

$AB^2 = 20$

$AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$AB > 0$より、$AB = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$AB = 2\sqrt{5}$

## 問題 5

1. 問題の内容

半径が3の円に点Pから接線PAを引く。円の中心をOとするとき、線分POと円との交点をBとする。$PA = 4$のとき、$PB$の長さを求める。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用する。

円の外部の点Pから円に接線PAと直線POを引くとき、方べきの定理より$PA^2 = PB \cdot PC$が成り立つ。

ここで、$PA = 4$、$PB = PO - BO = PO - 3$、$PC = PO + OC = PO + 3$である。

よって、$4^2 = (PO - 3)(PO + 3)$

$16 = PO^2 - 9$

$PO^2 = 25$

$PO = 5$ (PO > 0より)

$PB = PO - 3 = 5 - 3 = 2$

3. 最終的な答え

$PB = 2$