3人でじゃんけんをして、勝者が1人になるまでじゃんけんを続ける。ただし、敗者はじゃんけんから抜けるものとする。このとき、じゃんけんが3回以上続く確率を求めよ。

1. 問題の内容

3人でじゃんけんをして、勝者が1人になるまでじゃんけんを続ける。ただし、敗者はじゃんけんから抜けるものとする。このとき、じゃんけんが3回以上続く確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1回のじゃんけんで勝者が1人に決まる確率を考える。

* 3人全員が同じ手を出す（あいこ）：3通り（グー、チョキ、パーのそれぞれ）

* 3人それぞれが違う手を出す（あいこ）：なし

* 2人が同じ手を出し、1人が違う手を出す：3C2 * 2 = 6通り (3人から2人を選び、その手が残り1人の手を出すパターンで2通り)

* 1人が勝つパターン: 全体のパターンからあいこになるパターンを引く ($3^3 - 3 - 6 = 18$通り). 1人が勝つ場合、手の出し方は3通りある。したがって、1人が勝つ確率は、$18/27 = 2/3$

* あいこになる確率: 全体のパターンが$3^3 = 27$通り。あいこになるのは、全員が同じ手を出す場合（3通り）と、全員が違う手を出す場合（0通り）。あいこになる確率は $3/27 = 1/9$. したがって、あいこにならない確率は $1 - 1/9 = 8/9$.

1回目に1人が勝つ確率は $2/3$。

1回目にあいこになる確率は $1/9$。

じゃんけんが3回以上続くためには、1回目と2回目があいこになる必要がある。

* 1回目があいこになる確率は $\frac{1}{9}$。

* 2回目にあいこになる確率は、場合分けが必要。

* 1回目があいこで、3人残っている場合：2回目にあいこになる確率は$\frac{1}{9}$。

* 1回目があいこで、2人残っている場合：2回目にあいこになる確率は$\frac{1}{3}$。

3回以上続く確率を求めるには、1回目と2回目があいこになる必要がある。

1回目：3人であいこになる確率 = $\frac{1}{9}$

2回目：あいこの人数で場合分け

-3人であいこになった場合、2回目も3人であいこになる確率は$\frac{1}{9}$。

-2人であいこになった場合、2回目も2人であいこになる確率は$\frac{1}{3}$。

ここで、1回目があいこになった場合を考える。1回目があいこになった場合に、3人残る場合(全員同じ手を出す場合)は確率は $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$である。2人残る場合は2人が同じ手を出す場合だから、2回目以降は2人でじゃんけんをすることになる。2人でじゃんけんをした場合、あいこになる確率は$\frac{1}{3}$である。しかし、問題文より最終的に1人が勝つ必要がある。つまり、あいこが2回続く状況もあり得る。

1回目があいこになる確率：$\frac{1}{9}$

2回目があいこになる確率：$\frac{1}{9}$

したがって、3回以上続く確率は：$\frac{1}{9} \times \frac{1}{9}=\frac{1}{81}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{81}$