4. 3個のさいころを同時に投げるとき、出た目の最大値が5である確率を求めよ。 5. A, B 2つのチームが試合を行い、先に3勝したチームを優勝とする。ただし、引き分けはないものとし、Aチームが各試合で勝つ確率は $3/5$ とする。このとき3試合目で優勝が決まる確率および、5試合目で優勝が決まる確率を求めよ。 6. さいころを投げ、その目の出方によって、数直線上を動く点Pがある。点Pは原点を出発し、5以上の目が出れば正の向きに3だけ、4以下の目が出れば負の向きに2だけ動く。さいころを5回続けて投げるとき、点Pが座標5の位置にいる確率を求めよ。 7. 1つのさいころを投げ続けて、同じ目が2回連続して出たら終了するものとする。r回目以内(r回目も含む)に終了する確率を求めよ。ただし、$r \geq 2$ とする。

1. 問題の内容

4. 3個のさいころを同時に投げるとき、出た目の最大値が5である確率を求めよ。

5. A, B 2つのチームが試合を行い、先に3勝したチームを優勝とする。ただし、引き分けはないものとし、Aチームが各試合で勝つ確率は $3/5$ とする。このとき3試合目で優勝が決まる確率および、5試合目で優勝が決まる確率を求めよ。

6. さいころを投げ、その目の出方によって、数直線上を動く点Pがある。点Pは原点を出発し、5以上の目が出れば正の向きに3だけ、4以下の目が出れば負の向きに2だけ動く。さいころを5回続けて投げるとき、点Pが座標5の位置にいる確率を求めよ。

7. 1つのさいころを投げ続けて、同じ目が2回連続して出たら終了するものとする。r回目以内(r回目も含む)に終了する確率を求めよ。ただし、$r \geq 2$ とする。

2. 解き方の手順

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4. 出た目の最大値が5である確率**

まず、3個のさいころの出目の組み合わせの総数は $6^3 = 216$ 通りです。

次に、最大値が5である組み合わせを数えます。

3つのサイコロの出目がすべて5以下である組み合わせは $5^3 = 125$ 通りです。

3つのサイコロの出目がすべて4以下である組み合わせは $4^3 = 64$ 通りです。

したがって、最大値が5である組み合わせは $125 - 64 = 61$ 通りです。

よって、求める確率は $\frac{61}{216}$ です。

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5. 3試合目および5試合目で優勝が決まる確率**

3試合目でAが優勝する場合、Aが3連勝する必要があります。その確率は $(\frac{3}{5})^3 = \frac{27}{125}$ です。

3試合目でBが優勝する場合、Bが3連勝する必要があります。その確率は $(\frac{2}{5})^3 = \frac{8}{125}$ です。

したがって、3試合目で優勝が決まる確率は $\frac{27}{125} + \frac{8}{125} = \frac{35}{125} = \frac{7}{25}$ です。

5試合目でAが優勝する場合、4試合目までにAが2勝し、5試合目でAが勝つ必要があります。4試合目までにAが2勝Bが2勝の場合の数は $_4C_2 = 6$ 通りです。4試合目までにAが2勝、Bが0勝の場合の数は $_2C_2 = 1$通り、4試合目までにAが2勝、Bが1勝の場合の数は $_3C_2 = 3$通りです。

Aが5試合目で優勝する確率は ${}_4C_2 (\frac{3}{5})^2 (\frac{2}{5})^2 (\frac{3}{5}) + {}_4C_1 (\frac{3}{5})^2 (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5}) + {}_4C_0 (\frac{3}{5})^2 (\frac{2}{5})^0 (\frac{3}{5})= 6 (\frac{3}{5})^3 (\frac{2}{5})^2 + 4(\frac{3}{5})^3(\frac{2}{5}) + 1 (\frac{3}{5})^3 = \frac{6 \cdot 27 \cdot 4 + 4 \cdot 27 \cdot 2 + 27}{5^5} = \frac{648 + 216 + 27}{3125} = \frac{891}{3125}$

5試合目でBが優勝する場合も同様に考えます。5試合目でBが優勝する確率は${}_4C_2 (\frac{2}{5})^3 (\frac{3}{5})^2 + {}_4C_1 (\frac{2}{5})^3 (\frac{3}{5}) + {}_4C_0 (\frac{2}{5})^3 = \frac{6 \cdot 8 \cdot 9 + 4 \cdot 8 \cdot 3 + 8}{5^5} = \frac{432 + 96 + 8}{3125} = \frac{536}{3125}$

したがって、5試合目で優勝が決まる確率は $\frac{891}{3125} + \frac{536}{3125} = \frac{1427}{3125}$ です。

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6. 点Pが座標5の位置にいる確率**

5回の試行で、点Pが座標5にいるためには、正の向きに$x$回、負の向きに$y$回移動したとすると、

$3x - 2y = 5$ かつ $x + y = 5$ である必要があります。

これを解くと、

$y = 5 - x$

$3x - 2(5 - x) = 5$

$3x - 10 + 2x = 5$

$5x = 15$

$x = 3$

$y = 2$

したがって、5回中3回は5以上の目を出し、2回は4以下の目を出す必要があります。

5以上の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$、4以下の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

組み合わせの数は ${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通りです。

よって、求める確率は $10 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^2 = 10 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{4}{9} = \frac{40}{243}$ です。

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7. r回目以内に終了する確率**

1つのサイコロを投げ続け、同じ目が2回連続して出たら終了するものとします。$r$回目以内に終了する確率を求めます。

$r=2$のとき、1回目と2回目の目が一致すれば終了します。

1回目の目は何でもよく、2回目の目が1回目と同じになる確率は $\frac{1}{6}$ なので、$P(r=2) = \frac{1}{6}$ です。

$r=3$のとき、2回目までは一致せず、3回目に2回目と同じ目が出れば終了します。

1回目の目は何でもよく、2回目の目が1回目と異なる確率は $\frac{5}{6}$ です。

3回目の目が2回目と同じになる確率は $\frac{1}{6}$ なので、$P(r=3) = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ です。

一般に、$r$回目に終了する確率は、$(r-1)$回目まで連続する目が出ず、$r$回目に$(r-1)$回目と同じ目が出る確率です。

$(r-1)$回目まで連続する目が出ない確率は、1回目の目が何でもよく、2回目以降は前の回と異なる目が出続ける確率です。

つまり、$(\frac{5}{6})^{r-2}$ です。

したがって、$P(r) = (\frac{5}{6})^{r-2} \times \frac{1}{6}$ です。

$r$回目以内に終了する確率は、$\sum_{k=2}^{r} P(k) = \sum_{k=2}^{r} (\frac{5}{6})^{k-2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \sum_{k=0}^{r-2} (\frac{5}{6})^k$

これは等比数列の和なので、$\frac{1}{6} \times \frac{1 - (\frac{5}{6})^{r-1}}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{1}{6} \times \frac{1 - (\frac{5}{6})^{r-1}}{\frac{1}{6}} = 1 - (\frac{5}{6})^{r-1}$

3. 最終的な答え

4. $\frac{61}{216}$

5. 3試合目：$\frac{7}{25}$、5試合目：$\frac{1427}{3125}$

6. $\frac{40}{243}$

7. $1 - (\frac{5}{6})^{r-1}$