5人の生徒の国語の小テストの得点 $x$ と数学の小テストの得点 $y$ が与えられています。 (1) 表の空欄を埋め、$x$ と $y$ の共分散、$x$ の標準偏差、$y$ の標準偏差、および $x$ と $y$ の相関係数を求める問題です。

1. 問題の内容

5人の生徒の国語の小テストの得点 $x$ と数学の小テストの得点 $y$ が与えられています。

(1) 表の空欄を埋め、$x$ と $y$ の共分散、$x$ の標準偏差、$y$ の標準偏差、および $x$ と $y$ の相関係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 表の空欄を埋める。

まず、$x$ と $y$ の平均値を計算します。

$x$ の平均値 $\bar{x} = (9 + 6 + 3 + 10 + 7) / 5 = 35 / 5 = 7$

$y$ の平均値 $\bar{y} = (8 + 6 + 4 + 7 + 5) / 5 = 30 / 5 = 6$

次に、各データに対する偏差を計算します。

$x$ の偏差: $9-7=2$, $6-7=-1$, $3-7=-4$, $10-7=3$, $7-7=0$

$y$ の偏差: $8-6=2$, $6-6=0$, $4-6=-2$, $7-6=1$, $5-6=-1$

偏差の二乗を計算します。

$(xの偏差)^2$: $2^2=4$, $(-1)^2=1$, $(-4)^2=16$, $3^2=9$, $0^2=0$

$(yの偏差)^2$: $2^2=4$, $0^2=0$, $(-2)^2=4$, $1^2=1$, $(-1)^2=1$

偏差の積を計算します。

$x$の偏差 × $y$の偏差: $2 \times 2 = 4$, $-1 \times 0 = 0$, $-4 \times -2 = 8$, $3 \times 1 = 3$, $0 \times -1 = 0$

最後に、それぞれの合計を計算します。

$\sum (xの偏差) = 2 - 1 - 4 + 3 + 0 = 0$

$\sum (yの偏差) = 2 + 0 - 2 + 1 - 1 = 0$

$\sum (xの偏差)^2 = 4 + 1 + 16 + 9 + 0 = 30$

$\sum (yの偏差)^2 = 4 + 0 + 4 + 1 + 1 = 10$

$\sum (xの偏差)(yの偏差) = 4 + 0 + 8 + 3 + 0 = 15$

(2) $x$ と $y$ の共分散を求める。

共分散は $\frac{\sum (xの偏差)(yの偏差)}{n}$ で計算されます。

共分散 $= \frac{15}{5} = 3$

(3) $x$ の標準偏差を求める。

$x$ の標準偏差は $\sqrt{\frac{\sum (xの偏差)^2}{n}}$ で計算されます。

$x$ の標準偏差 $= \sqrt{\frac{30}{5}} = \sqrt{6} \approx 2.45$

(4) $y$ の標準偏差を求める。

$y$ の標準偏差は $\sqrt{\frac{\sum (yの偏差)^2}{n}}$ で計算されます。

$y$ の標準偏差 $= \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2} \approx 1.41$

(5) $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求める。

相関係数 $r$ は $\frac{共分散}{(xの標準偏差)(yの標準偏差)}$ で計算されます。

$r = \frac{3}{\sqrt{6} \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.7321}{2} \approx 0.86605$

四捨五入して小数第2位まで求めると $0.87$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 表の空欄 (上記参照)

(2) 共分散: 3

(3) $x$ の標準偏差: 2.45

(4) $y$ の標準偏差: 1.41

(5) 相関係数: 0.87