与えられた2次方程式 $4x^2 - (m+1)x + m - 2 = 0$ が重解を持つときの、定数 $m$ の値と、そのときの重解 $x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $4x^2 - (m+1)x + m - 2 = 0$ が重解を持つときの、定数 $m$ の値と、そのときの重解 $x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が 0 になることです。

与えられた方程式において、$a = 4$, $b = -(m+1)$, $c = m-2$ です。

したがって、判別式 $D$ は

$D = (-(m+1))^2 - 4 \cdot 4 \cdot (m-2) = (m+1)^2 - 16(m-2) = m^2 + 2m + 1 - 16m + 32 = m^2 - 14m + 33$

$D = 0$ となる $m$ を求めるために、$m^2 - 14m + 33 = 0$ を解きます。

$(m-3)(m-11) = 0$ より、$m = 3$ または $m = 11$ です。

(1) $m = 3$ のとき、2次方程式は $4x^2 - (3+1)x + 3-2 = 4x^2 - 4x + 1 = 0$ となります。

$(2x-1)^2 = 0$ より、$x = \frac{1}{2}$ となります。

(2) $m = 11$ のとき、2次方程式は $4x^2 - (11+1)x + 11-2 = 4x^2 - 12x + 9 = 0$ となります。

$(2x-3)^2 = 0$ より、$x = \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$m = 3$ のとき、重解 $x = \frac{1}{2}$

$m = 11$ のとき、重解 $x = \frac{3}{2}$