与えられた関数 $f(x) = \frac{ax-3}{x+1}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。 (2) $f^{-1}(x) = f_2(x)$ となるような $a$ の値を求めます。ただし、$f_2(x) = f(f(x))$です。 (3) $a=1$ のとき、$f_2(x), f_3(x), f_n(x)$ を求めます。ただし、$f_3(x)=f(f_2(x))$であり、$f_n(x) = f(f_{n-1}(x))$です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{ax-3}{x+1}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。

(2) $f^{-1}(x) = f_2(x)$ となるような $a$ の値を求めます。ただし、$f_2(x) = f(f(x))$です。

(3) $a=1$ のとき、$f_2(x), f_3(x), f_n(x)$ を求めます。ただし、$f_3(x)=f(f_2(x))$であり、$f_n(x) = f(f_{n-1}(x))$です。

2. 解き方の手順

(1) 逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める

$y = \frac{ax-3}{x+1}$ とおきます。

$y(x+1) = ax - 3$

$yx + y = ax - 3$

$yx - ax = -y - 3$

$x(y-a) = -y-3$

$x = \frac{-y-3}{y-a}$

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{-x-3}{x-a}$ となります。

(2) $f^{-1}(x) = f_2(x)$ となる $a$ を求める

まず、$f_2(x) = f(f(x))$ を計算します。

$f(f(x)) = f(\frac{ax-3}{x+1}) = \frac{a(\frac{ax-3}{x+1}) - 3}{\frac{ax-3}{x+1} + 1} = \frac{a(ax-3) - 3(x+1)}{ax-3 + (x+1)} = \frac{a^2x - 3a - 3x - 3}{ax-3+x+1} = \frac{(a^2-3)x - 3a - 3}{(a+1)x - 2}$

$f^{-1}(x) = f_2(x)$ より、$\frac{-x-3}{x-a} = \frac{(a^2-3)x - 3a - 3}{(a+1)x - 2}$ が成り立ちます。

この式が恒等式となるためには、

$\frac{-1}{1} = \frac{-3}{-a}$となり、$a=3$

また、$\frac{-1}{a^2-3} = \frac{-3}{-3a-3}$より、$a^2 - 3 = 3a + 3$となり、$a^2 - 3a - 6 = 0$

$\frac{-x-3}{x-a} = \frac{(a^2-3)x - 3a - 3}{(a+1)x - 2}$から、

$(-x-3)((a+1)x-2) = (x-a)((a^2-3)x - 3a - 3)$

$-(a+1)x^2 + 2x - 3(a+1)x + 6 = (a^2-3)x^2 - (3a+3)x - a(a^2-3)x + a(3a+3)$

$-(a+1)x^2 + (-3a-1)x + 6 = (a^2-3)x^2 + (-a^3+3a -3a-3)x + 3a^2 + 3a$

$-(a+1)x^2 + (-3a-1)x + 6 = (a^2-3)x^2 + (-a^3 -3)x + 3a^2 + 3a$

係数を比較して、

$-(a+1) = a^2-3$

$-3a-1 = -a^3-3$

$6 = 3a^2+3a$

$6 = 3a^2 + 3a$ より、$a^2 + a - 2 = 0$, $(a+2)(a-1) = 0$, $a = -2, 1$

$-(a+1) = a^2 - 3$ より、$a^2+a-2 = 0$, $(a+2)(a-1) = 0$, $a = -2, 1$

$-3a-1 = -a^3-3$より、$a^3-3a+2=0$, $(a-1)(a^2+a-2)=0$, $(a-1)(a-1)(a+2)=0$, $a=1, -2$

$a=-2$を代入すると$f(x) = \frac{-2x-3}{x+1}$

$f_2(x) = \frac{x}{1}$

$f^{-1}(x) = \frac{-x-3}{x+2}$

a=-2の時、条件を満たさない

a=1の時、条件を満たさない

$-3a-1 = -a^3 -3$

$-3a - 1 = -a - 3$より、$-2a = -2$, $a = 1$

$-(a+1)=a^2-3$

$-2 = -2$

a=-2, 1を代入

a=1

$a=-2$

$f^{-1}(x)=f_2(x)$

a=-2

(3) $a=1$ のとき、$f_2(x), f_3(x), f_n(x)$ を求める

$f(x) = \frac{x-3}{x+1}$

$f_2(x) = f(f(x)) = \frac{\frac{x-3}{x+1}-3}{\frac{x-3}{x+1}+1} = \frac{x-3-3(x+1)}{x-3+x+1} = \frac{-2x-6}{2x-2} = \frac{-x-3}{x-1}$

$f_3(x) = f(f_2(x)) = f(\frac{-x-3}{x-1}) = \frac{\frac{-x-3}{x-1}-3}{\frac{-x-3}{x-1}+1} = \frac{-x-3-3(x-1)}{-x-3+x-1} = \frac{-4x}{-4} = x$

$f_4(x) = f(f_3(x)) = f(x) = \frac{x-3}{x+1}$

$f_1(x) = f(x)$

$f_2(x) = \frac{-x-3}{x-1}$

$f_3(x) = x$

$f_4(x) = f(x)$

$f_5(x) = f_2(x)$

$f_6(x) = f_3(x) = x$

$n$ が3の倍数のとき、$f_n(x) = x$

$n$ を3で割った余りが1のとき、$f_n(x) = f(x)$

$n$ を3で割った余りが2のとき、$f_n(x) = f_2(x)$

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(x) = \frac{-x-3}{x-a}$

(2) $a = -2$

(3) $a=1$ のとき

$f_2(x) = \frac{-x-3}{x-1}$

$f_3(x) = x$

$f_n(x) = \begin{cases} x & (n \equiv 0 \pmod{3}) \\ \frac{x-3}{x+1} & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\ \frac{-x-3}{x-1} & (n \equiv 2 \pmod{3}) \end{cases}$