$V = \mathbb{R}^3$ の部分空間 $W_1$, $W_2$ について、$V = W_1 \oplus W_2$ が成り立つことを示す問題です。ここで、$W_1$ と $W_2$ は、以下の3つの場合にそれぞれ定義されています。 (1) $W_1 = \left\{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}$, $W_2 = \left\{ c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \right\}$ (2) $W_1 = \left\{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}$, $W_2 = \left\{ c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \right\}$ (3) $T(\mathbf{x}) = x_1 - x_2 + 2x_3$ に対して、$W_1 = \text{Ker}(T)$, $W_2 = \left\{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb{R} \right\}$

1. 問題の内容

$V = \mathbb{R}^3$ の部分空間 $W_1$, $W_2$ について、$V = W_1 \oplus W_2$ が成り立つことを示す問題です。ここで、$W_1$ と $W_2$ は、以下の3つの場合にそれぞれ定義されています。

(1) $W_1 = \left\{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}$, $W_2 = \left\{ c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \right\}$

(2) $W_1 = \left\{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}$, $W_2 = \left\{ c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \right\}$

(3) $T(\mathbf{x}) = x_1 - x_2 + 2x_3$ に対して、$W_1 = \text{Ker}(T)$, $W_2 = \left\{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb{R} \right\}$

2. 解き方の手順

$V = W_1 \oplus W_2$ を示すためには、以下の2つの条件を示す必要があります。

(i) $W_1 \cap W_2 = \{\mathbf{0}\}$

(ii) $W_1 + W_2 = V$ (つまり、任意の $\mathbf{v} \in V$ に対して、$\mathbf{v} = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2$ となる $\mathbf{w}_1 \in W_1$ と $\mathbf{w}_2 \in W_2$ が存在する)

(1)

(i) $W_1 \cap W_2 = \{\mathbf{0}\}$ を示す。

$W_1$のベクトルと$W_2$のベクトルが等しいとすると、

$a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは、$\begin{bmatrix} a \\ a+b \\ -a+b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ c \\ 0 \end{bmatrix}$

したがって、$a=0$, $a+b=c$, $-a+b=0$。これより、$a=0$, $b=0$, $c=0$ となり、共通部分はゼロベクトルのみ。

(ii) $W_1 + W_2 = V$ を示す。

$W_1$の基底は$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であり、$W_2$の基底は$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$である。これら3つのベクトルが線形独立であれば、$V=W_1 \oplus W_2$が成立する。行列式を計算すると

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0-1) = -1 \neq 0$

よって、3つのベクトルは線形独立であり、$\mathbb{R}^3$の基底となる。したがって、$V = W_1 \oplus W_2$。

(2)

(i) $W_1 \cap W_2 = \{\mathbf{0}\}$ を示す。

$a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは、$\begin{bmatrix} a \\ b \\ -a-b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ 2c \\ 0 \end{bmatrix}$

したがって、$a=c$, $b=2c$, $-a-b=0$。$-c-2c=0$ より、$c=0$。よって、$a=0$, $b=0$。共通部分はゼロベクトルのみ。

(ii) $W_1 + W_2 = V$ を示す。

$W_1$の基底は$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ であり、$W_2$の基底は$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$である。行列式を計算すると

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0+2) + 1(0+1) = 2+1=3 \neq 0$

よって、3つのベクトルは線形独立であり、$\mathbb{R}^3$の基底となる。したがって、$V = W_1 \oplus W_2$。

(3)

(i) $W_1 = \text{Ker}(T)$ を求める。

$T(\mathbf{x}) = x_1 - x_2 + 2x_3 = 0$ を満たす $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ が $W_1$ の要素である。

$x_1 = x_2 - 2x_3$ と書けるので、

$W_1 = \left\{ \begin{bmatrix} x_2 - 2x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \mid x_2, x_3 \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ x_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \mid x_2, x_3 \in \mathbb{R} \right\}$

$W_2 = \left\{ a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb{R} \right\}$

$W_1 \cap W_2 = \{\mathbf{0}\}$ を示す。

$x_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは、$\begin{bmatrix} x_2-2x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

したがって、$x_2=0$, $x_3=0$、よって $a=0$。共通部分はゼロベクトルのみ。

(ii) $W_1 + W_2 = V$ を示す。

$W_1$の基底は$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ であり、$W_2$の基底は$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$である。行列式を計算すると

$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0-1) = -1 \neq 0$

よって、3つのベクトルは線形独立であり、$\mathbb{R}^3$の基底となる。したがって、$V = W_1 \oplus W_2$。

3. 最終的な答え

(1), (2), (3) いずれの場合も、$V = W_1 \oplus W_2$ が成り立つ。