7つの数学の問題が出されています。 問題1: 直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ となす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であり、点 $(0, 5)$ で交わる直線を求める。 問題2: $\sin \theta - \sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi)$ の値を求める。 問題3: $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ を $\sin(\theta + \alpha)$ の形で表し、その最大値と最小値を求める。ただし $-\pi \le \theta \le \pi$。 問題4: $\cos 2\theta > \sin \theta$ を解く。ただし $0 \le \theta \le 2\pi$。 問題5: $y = 4\sin \theta - \cos 2\theta + 3$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。ただし $0 \le \theta < 2\pi$。 問題6: $y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x$ ($0 \le x \le \pi$) において、$t = \sin x + \cos x$ とおき、次の問いに答える。 (1) $t$ の取り得る値の範囲を求める。 (2) $y$ の最小値を求める。 問題7: $3\sin x + \cos x = 3$ が成り立つとき、$\sin 2x$ の値を求める。ただし $0 < x < \frac{\pi}{2}$。

1. 問題の内容

7つの数学の問題が出されています。

問題1: 直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ となす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であり、点 $(0, 5)$ で交わる直線を求める。

問題2: $\sin \theta - \sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi)$ の値を求める。

問題3: $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ を $\sin(\theta + \alpha)$ の形で表し、その最大値と最小値を求める。ただし $-\pi \le \theta \le \pi$。

問題4: $\cos 2\theta > \sin \theta$ を解く。ただし $0 \le \theta \le 2\pi$。

問題5: $y = 4\sin \theta - \cos 2\theta + 3$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。ただし $0 \le \theta < 2\pi$。

問題6: $y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x$ ($0 \le x \le \pi$) において、$t = \sin x + \cos x$ とおき、次の問いに答える。

(1) $t$ の取り得る値の範囲を求める。

(2) $y$ の最小値を求める。

問題7: $3\sin x + \cos x = 3$ が成り立つとき、$\sin 2x$ の値を求める。ただし $0 < x < \frac{\pi}{2}$。

2. 解き方の手順

各問題に対して順に解き方を説明します。

問題1:

与えられた直線の傾きは $\sqrt{3}$ であり、$\tan \theta = \sqrt{3}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$。

求める直線の傾きを $m$ とすると、なす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ より、$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$。

$\left| \frac{m - \sqrt{3}}{1 + m\sqrt{3}} \right| = \sqrt{3}$

$m - \sqrt{3} = \pm \sqrt{3} (1 + m\sqrt{3})$

$m - \sqrt{3} = \sqrt{3} + 3m$ または $m - \sqrt{3} = -\sqrt{3} - 3m$

$-2\sqrt{3} = 2m$ または $4m = 0$

$m = -\sqrt{3}$ または $m = 0$

傾きが $0$ の時 $y = 5$, 傾きが $-\sqrt{3}$ の時 $y = -\sqrt{3}x + 5$

問題2:

$\sin \theta - \sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi)$

積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A - B) - \cos (A + B)]$ を用いる。

$\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi) = \frac{1}{2} [\cos(-\frac{2}{3}\pi) - \cos(2\theta + 2\pi)]$

$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{2}{3}\pi) - \cos(2\theta)] = \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} - \cos 2\theta]$

$\sin \theta - \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} - \cos 2\theta] = \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2\theta = \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}(1 - 2\sin^2 \theta)$

$= \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \sin^2 \theta = -\sin^2 \theta + \sin \theta + \frac{3}{4} = -(\sin \theta - \frac{1}{2})^2 + 1$

$\frac{3}{4} + \sin \theta + \frac{1}{2}(1 - 2\sin^2 \theta) = -\sin^2 \theta + \sin \theta + \frac{3}{4}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ の時、$y=1$

$y = 1$

問題3:

$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2 (\frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta) = 2 (\cos \frac{\pi}{3} \sin \theta - \sin \frac{\pi}{3} \cos \theta) = 2 \sin (\theta - \frac{\pi}{3})$

最大値は $2$ ($\theta = \frac{5}{6}\pi$), 最小値は $-2$ ($\theta = -\frac{\pi}{6}$)

問題4:

$\cos 2\theta > \sin \theta$

$1 - 2 \sin^2 \theta > \sin \theta$

$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 < 0$

$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) < 0$

$-1 < \sin \theta < \frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le 2\pi$ より、

$\pi < \theta < 2\pi$ かつ $0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta \le 2\pi$。

したがって $\pi < \theta < 2\pi$ かつ $\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$.

または $\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{7\pi}{6}$

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ を考慮すると $\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} < \theta < 2\pi$

問題5:

$y = 4 \sin \theta - \cos 2\theta + 3 = 4 \sin \theta - (1 - 2\sin^2 \theta) + 3 = 2 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta + 2 = 2 (\sin \theta + 1)^2$

$0 \le \theta < 2\pi$ より $-1 \le \sin \theta \le 1$

最大値は $2 (1 + 1)^2 = 8$, このとき $\sin \theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$.

最小値は $2 (-1 + 1)^2 = 0$, このとき $\sin \theta = -1$ より $\theta = \frac{3\pi}{2}$.

問題6:

(1) $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le \pi$ より $\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

$-1/\sqrt{2} \le \sin(x+\pi/4) \le 1$.

$-1 \le \sin (x + \frac{\pi}{4}) \le 1$.

したがって $-1 \le \frac{t}{\sqrt{2}} \le 1$.

$t = \sin x + \cos x$, $t = \sqrt{2} sin (x+\frac{\pi}{4})$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 1$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin (x + \frac{\pi}{4}) \le 1$, よって $-1 \leq \sqrt{2} \sin (x+\frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin (x+\frac{\pi}{4}) \le 1$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le 1$

$-1 \leq \sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$

$-1/\sqrt{2} \leq \sin(x+\frac{\pi}{4}) \leq 1$.

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \sin (x+\frac{\pi}{4}) \leq 1$.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \sin (x+\frac{\pi}{4}) \leq 1$.

より $t$ は $-\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ の値をとりうるので $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ となる。

したがって, $t = \sin x + \cos x$, $t = \sqrt{2} sin (x+\frac{\pi}{4})$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \sin (x+\frac{\pi}{4}) \leq 1$

$x = 0$ のとき $t = 1, x=\pi$ のとき $t=-1$。

したがって範囲は $t=\sin x+\cos x = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$ より，$t$の取りうる値の範囲は $-1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(2) $y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x = \sin x \cos x (\sin x + \cos x + 1)$

$= \sin x \cos x (t + 1) = \frac{1}{2} \sin 2x (t+1) = \frac{1}{2} \sin 2x (t+1)$

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$.

$2\sin x\cos x = t^2 - 1$.

したがって $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$

$y = \frac{t^2 - 1}{2} (t + 1) = \frac{1}{2} (t^3 + t^2 - t - 1)$.

$f(t) = \frac{1}{2} (t^3 + t^2 - t - 1)$

$f'(t) = \frac{1}{2}(3t^2+2t-1)=\frac{1}{2}(3t-1)(t+1)=0$

$t=\frac{1}{3},-1$

$t = \frac{1}{3}$で最小。ただし $-1 \leq t \leq \sqrt{2}$。

$t=-1$のとき$f(-1) = 0$, $t = \frac{1}{3}$のとき$f(\frac{1}{3})= \frac{1}{2}(\frac{1}{27}+\frac{1}{9}-\frac{1}{3}-1) = \frac{1}{2} (\frac{1+3-9-27}{27}) = \frac{1}{2} (-\frac{32}{27}) = -\frac{16}{27}$.

$t=\sqrt{2}$ のとき $f(\sqrt{2}) = \frac{1}{2} (2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} - 1) = \frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)$

$t=-1$のとき$\sin x + \cos x = -1$. $\sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4}) = -1$, よって、$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = -1/\sqrt{2} \rightarrow x = \pi$

yの最小値は $-\frac{16}{27}$

問題7:

$3 \sin x + \cos x = 3$

$\cos x = 3 - 3 \sin x = 3(1 - \sin x)$

$\cos^2 x = 9 (1 - \sin x)^2 = 9(1 - 2\sin x + \sin^2 x)$

$1 - \sin^2 x = 9 - 18\sin x + 9 \sin^2 x$

$10 \sin^2 x - 18 \sin x + 8 = 0$

$5 \sin^2 x - 9 \sin x + 4 = 0$

$(5 \sin x - 4)(\sin x - 1) = 0$

$\sin x = \frac{4}{5}$ または $\sin x = 1$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ より、$\sin x = \frac{4}{5}$.

$\cos x = 3 - 3(\frac{4}{5}) = 3 - \frac{12}{5} = \frac{3}{5}$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 (\frac{4}{5})(\frac{3}{5}) = \frac{24}{25}$

3. 最終的な答え

問題1: $y = 5$ と $y = -\sqrt{3}x + 5$

問題2: $\frac{3}{4}$

問題3: $2 \sin (\theta - \frac{\pi}{3})$、最大値は $2$、最小値は $-2$

問題4: $\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{7\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6} < \theta < 2\pi$

問題5: 最大値は $8$ ($\theta = \frac{\pi}{2}$)、最小値は $0$ ($\theta = \frac{3\pi}{2}$)

問題6: (1) $-1 \le t \le \sqrt{2}$ (2) 最小値は $-\frac{16}{27}$

問題7: $\sin 2x = \frac{24}{25}$