3つの連続する整数があり、最も小さい数の2乗と最も大きい数の2乗の和は、真ん中の数の6倍より38大きいです。真ん中の数を$x$とするとき、方程式$(x-1)^2 + (\text{ア})^2 = \text{イ}$の空欄を埋め、その方程式を解いて3つの整数を求めます。

1. 問題の内容

3つの連続する整数があり、最も小さい数の2乗と最も大きい数の2乗の和は、真ん中の数の6倍より38大きいです。真ん中の数を$x$とするとき、方程式$(x-1)^2 + (\text{ア})^2 = \text{イ}$の空欄を埋め、その方程式を解いて3つの整数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

3つの連続する整数を、$x-1$, $x$, $x+1$とします。最も小さい数は$x-1$、最も大きい数は$x+1$です。

問題文より、$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$ が成り立ちます。

展開すると、$x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1 = 6x + 38$

整理すると、$2x^2 + 2 = 6x + 38$

$2x^2 - 6x - 36 = 0$

$x^2 - 3x - 18 = 0$

方程式は $(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$ なので、

$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$ を $x$ の式で表すと、

$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$

$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$

$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$

$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$

よって、$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$を変形して、

$2x^2 + 2 = 6x + 38$

$2x^2 - 6x - 36 = 0$

$x^2 - 3x - 18 = 0$

ここで、$6x+38$ を右辺にもってくると、

$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$

$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x+38$ なので、$(x-1)^2 + (x+1)^2 - (6x + 38) = 0$ と変形すると

$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x+38$

$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$ を満たす $x$ は $x = 6, -3$

なので、

$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$

よってアには$(x+1)^2$、イには$6x+38$が入ります。

(2)

(1)でつくった方程式は、$x^2 - 3x - 18 = 0$

これを解くと、$(x-6)(x+3) = 0$ より、$x = 6, -3$

$x=6$のとき、3つの整数は $5, 6, 7$

$x=-3$のとき、3つの整数は $-4, -3, -2$

3. 最終的な答え

(1) ア: $(x+1)^2$　イ: $6x+38$

(2) 3つの整数は $5, 6, 7$ と $-4, -3, -2$