$k > 2$ を満たす定数 $k$ がある。不等式 $5 - x \le 4x < 2x + k$ の解を求め、さらに、この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$k > 2$ を満たす定数 $k$ がある。不等式 $5 - x \le 4x < 2x + k$ の解を求め、さらに、この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $5 - x \le 4x < 2x + k$ を解く。

この不等式は、

$5 - x \le 4x$ ...(1)

と

$4x < 2x + k$ ...(2)

の2つの不等式に分解できる。

(1)を解く:

$5 - x \le 4x$

$5 \le 5x$

$1 \le x$

よって、$x \ge 1$

(2)を解く:

$4x < 2x + k$

$2x < k$

$x < \frac{k}{2}$

したがって、$5 - x \le 4x < 2x + k$ の解は $1 \le x < \frac{k}{2}$ となる。

次に、この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するように $k$ の範囲を定める。

$1 \le x < \frac{k}{2}$ を満たす整数 $x$ がちょうど5つであるということは、

$x = 1, 2, 3, 4, 5$ のみということである。

したがって、

$5 < \frac{k}{2} \le 6$

でなければならない。

もし $\frac{k}{2}$ が 5 以下であれば、5つの整数解を持つことができない。

もし $\frac{k}{2}$ が 6 より大きければ、6 も解に含まれてしまう。

$5 < \frac{k}{2} \le 6$ を解く:

$10 < k \le 12$

3. 最終的な答え

不等式 $5 - x \le 4x < 2x + k$ の解は $1 \le x < \frac{k}{2}$ である。

また、不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5つ存在するような定数 $k$ の値の範囲は $10 < k \le 12$ である。