与えられた高次方程式と高次不等式を解く問題です。具体的には以下の3つの問題を解きます。 (1) $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ (3) $x^4 - 13x^2 + 36 > 0$ (5) $x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 4x - 12 \le 0$

1. 問題の内容

与えられた高次方程式と高次不等式を解く問題です。具体的には以下の3つの問題を解きます。

(1) $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$

(3) $x^4 - 13x^2 + 36 > 0$

(5) $x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 4x - 12 \le 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$

まず、この3次方程式の整数解を探します。定数項は-6なので、約数である±1, ±2, ±3, ±6を試してみます。

$x = 2$を代入すると、$2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0$となるので、$x = 2$は解の一つです。

したがって、$x^3 - x^2 + x - 6$は$(x - 2)$を因数に持ちます。組み立て除法または筆算で割ると、

$x^3 - x^2 + x - 6 = (x - 2)(x^2 + x + 3)$

となります。

次に、2次方程式$x^2 + x + 3 = 0$を解きます。判別式は$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0$なので、この方程式は実数解を持ちません。解の公式を用いると、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

したがって、3次方程式$x^3 - x^2 + x - 6 = 0$の実数解は$x = 2$であり、複素数解は$x = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$です。

(3) $x^4 - 13x^2 + 36 > 0$

$y = x^2$とおくと、$y^2 - 13y + 36 > 0$となります。

この2次不等式を解きます。$y^2 - 13y + 36 = (y - 4)(y - 9)$なので、

$(y - 4)(y - 9) > 0$

$y < 4$または$y > 9$

$x^2 < 4$または$x^2 > 9$

$x^2 < 4$より、$-2 < x < 2$

$x^2 > 9$より、$x < -3$または$x > 3$

したがって、$x < -3, -2 < x < 2, x > 3$

(5) $x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 4x - 12 \le 0$

この4次不等式を解くために、まず左辺の因数分解を試みます。整数解を探すと、$x = 1$のとき、$1 - 6 + 9 + 4 - 12 = -4 \neq 0$

$x = -1$のとき、$1 + 6 + 9 - 4 - 12 = 0$となるので、$x = -1$は解の一つです。

$x = 2$のとき、$16 - 48 + 36 + 8 - 12 = 0$となるので、$x = 2$も解の一つです。

したがって、$x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 4x - 12$は$(x + 1)$と$(x - 2)$を因数に持ちます。

$(x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2$で割ると、

$x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 4x - 12 = (x^2 - x - 2)(x^2 - 5x + 6) = (x + 1)(x - 2)(x - 2)(x - 3) = (x + 1)(x - 2)^2(x - 3)$

したがって、$(x + 1)(x - 2)^2(x - 3) \le 0$を解きます。

$(x - 2)^2$は常に0以上なので、$x = 2$のとき不等式は成り立ちます。

$x \neq 2$のとき、$x + 1 \le 0$かつ$x - 3 \ge 0$または$x + 1 \ge 0$かつ$x - 3 \le 0$

$x + 1 \le 0$かつ$x - 3 \ge 0$は$x \le -1$かつ$x \ge 3$なので、これはあり得ません。

$x + 1 \ge 0$かつ$x - 3 \le 0$は$-1 \le x \le 3$

したがって、$-1 \le x \le 3$

ただし、$x \neq 2$なので、$-1 \le x < 2$または$2 < x \le 3$

$x = 2$も解なので、$-1 \le x \le 3$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

(3) $x < -3, -2 < x < 2, x > 3$

(5) $-1 \le x \le 3$