関数 $h(x) = ax^2 + bx + c$ が頂点 $(1, -2)$ を通り、$h(0) = 3$ を満たすとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $h(x) = ax^2 + bx + c$ が頂点 $(1, -2)$ を通り、$h(0) = 3$ を満たすとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **頂点の情報を使う**: 頂点の座標が $(1, -2)$ であることから、関数 $h(x)$ は次のように書けます。

$h(x) = a(x-1)^2 - 2$

* **h(0) = 3の情報を使う**: $h(0) = 3$ を上の式に代入して、$a$ の値を求めます。

$h(0) = a(0-1)^2 - 2 = a - 2 = 3$

したがって、$a = 5$ となります。

* **h(x)を展開する**: $a = 5$ を $h(x) = a(x-1)^2 - 2$ に代入し、展開して整理します。

$h(x) = 5(x-1)^2 - 2 = 5(x^2 - 2x + 1) - 2 = 5x^2 - 10x + 5 - 2 = 5x^2 - 10x + 3$

* **a, b, cを求める**: したがって、$h(x) = ax^2 + bx + c = 5x^2 - 10x + 3$ より、$a = 5, b = -10, c = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 5$, $b = -10$, $c = 3$