$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin 2x = \sqrt{2} \sin x$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin 2x = \sqrt{2} \sin x$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2x$ を倍角の公式を用いて展開します。

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

これを元の式に代入すると、

$2 \sin x \cos x = \sqrt{2} \sin x$

移項して整理すると、

$2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \sin x = 0$

$\sin x$ でくくると、

$\sin x (2 \cos x - \sqrt{2}) = 0$

したがって、$\sin x = 0$ または $2 \cos x - \sqrt{2} = 0$ となります。

$\sin x = 0$ のとき、$0 \le x < 2\pi$ より、

$x = 0, \pi$

$2 \cos x - \sqrt{2} = 0$ のとき、

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より、

$x = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$x = 0, \pi, \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$