2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とおく。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ が $\alpha$ と $\beta$ を解にもつとき、係数 $a, b$ の値を求めよ。また、この3次方程式のもう1つの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とおく。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ が $\alpha$ と $\beta$ を解にもつとき、係数 $a, b$ の値を求めよ。また、この3次方程式のもう1つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の解 $\alpha, \beta$ について、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 1$

$\alpha \beta = -1$

が成り立つ。

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ が $\alpha, \beta$ を解に持つので、もう一つの解を $\gamma$ とおくと、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = -a$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$

$\alpha\beta\gamma = -1$

が成り立つ。

$\alpha\beta = -1$ より、$\alpha\beta\gamma = -1$ から $\gamma = 1$ がわかる。

$\alpha + \beta = 1$ より、$\alpha + \beta + \gamma = -a$ から $1 + 1 = -a$ となり、$a = -2$ となる。

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$ について、$\alpha\beta = -1, \gamma = 1$ を代入すると、$-1 + \beta + \alpha = b$ となる。$\alpha + \beta = 1$ より、$b = -1 + 1 = 0$ となる。

したがって、$a = -2, b = 0$ であり、もう一つの解は $\gamma = 1$ である。

3. 最終的な答え

$a = -2, b = 0$, もう1つの解は $1$