2x2の行列A, Bに対して、以下の2つの主張が正しいかどうか判定する問題です。ここでOは零行列を表します。 (1) $AB = O$ ならば ($A = O$ または $B = O$) (2) $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

1. 問題の内容

2x2の行列A, Bに対して、以下の2つの主張が正しいかどうか判定する問題です。ここでOは零行列を表します。

(1) $AB = O$ ならば ($A = O$ または $B = O$)

(2) $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

2. 解き方の手順

(1) の反例を考えます。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$とします。

このとき $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$ですが、$A \neq O$ かつ $B \neq O$ です。

したがって、(1)は正しくありません。

(2) を検討します。

$(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2$

これが$A^2 + 2AB + B^2$と等しくなるのは、$AB + BA = 2AB$、つまり$BA = AB$のときです。

一般に、行列の積は交換法則を満たさないので、$BA \neq AB$です。

したがって、(2)は正しくありません。

例えば $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$とすると、

$(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 + 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって $(A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$です。

3. 最終的な答え

(1) 正しくない

(2) 正しくない