(1) 70個のみかんを何人かの子供に同じ数ずつ配ったところ、余りなく配り終え、1人分の個数は子供の人数より3個少なかった。子供の人数を求めよ。 (2) n角形の対角線は全部で $\frac{n(n-3)}{2}$ 本あるという。対角線が全部で20本ある多角形は何角形か求めよ。 (3) 物体を地上から毎秒80mの速さで真上に打ち上げると、打ち上げてからt秒後の物体の高さは $(80t - 5t^2)$ mになるという。物体の高さが300mになるのは、打ち上げてから何秒後か求めよ。

1. 問題の内容

(1) 70個のみかんを何人かの子供に同じ数ずつ配ったところ、余りなく配り終え、1人分の個数は子供の人数より3個少なかった。子供の人数を求めよ。

(2) n角形の対角線は全部で $\frac{n(n-3)}{2}$ 本あるという。対角線が全部で20本ある多角形は何角形か求めよ。

(3) 物体を地上から毎秒80mの速さで真上に打ち上げると、打ち上げてからt秒後の物体の高さは $(80t - 5t^2)$ mになるという。物体の高さが300mになるのは、打ち上げてから何秒後か求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

子供の人数を$x$人とする。

1人当たりのみかんの個数は$x-3$個である。

よって、

$x(x-3) = 70$

$x^2 - 3x - 70 = 0$

$(x - 10)(x + 7) = 0$

$x = 10, -7$

人数は正なので、$x = 10$

(2)

対角線の数が20なので、

$\frac{n(n-3)}{2} = 20$

$n(n-3) = 40$

$n^2 - 3n - 40 = 0$

解の公式より

$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{3 \pm 13}{2}$

$n = 8, -5$

nは正の整数なので、$n = 8$

(3)

物体の高さが300mになるので、

$80t - 5t^2 = 300$

$5t^2 - 80t + 300 = 0$

$t^2 - 16t + 60 = 0$

$(t - 6)(t - 10) = 0$

$t = 6, 10$

3. 最終的な答え

(1) 10人

(2) 八角形

(3) 6秒後と10秒後