複素数の計算と性質に関する問題です。 (2)では、複素数の四則演算、実部(Re)、虚部(Im)、絶対値の計算をします。 (3)では、複素数 $z_1$ と $z_2$ に対して、共役複素数の和、積、商に関する性質を示す必要があります。

1. 問題の内容

複素数の計算と性質に関する問題です。

(2)では、複素数の四則演算、実部(Re)、虚部(Im)、絶対値の計算をします。

(3)では、複素数 $z_1$ と $z_2$ に対して、共役複素数の和、積、商に関する性質を示す必要があります。

2. 解き方の手順

(2)

(1) 分子を展開し、分母と分子をそれぞれ整理します。次に、分母の共役複素数を分母分子に掛けて実数化します。

(2) $\frac{1+i}{1-i}$ を計算し、その実部を求めます。

(3) $\frac{3+2i}{2-3i}$ を計算し、その虚部を求めます。

(4) $\frac{1}{2+3i}$ の絶対値を求めます。

(5) $\frac{2-i}{2+3i}$ の絶対値を求めます。

(3)

(1) $z_1 = a + bi$, $z_2 = c + di$ とおき、$\overline{z_1 + z_2}$ と $\overline{z_1} + \overline{z_2}$ を計算して等しくなることを示します。

(2) $z_1 = a + bi$, $z_2 = c + di$ とおき、$\overline{z_1 z_2}$ と $\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ を計算して等しくなることを示します。

(3) $z_1 = a + bi$, $z_2 = c + di$ とおき、$\overline{(\frac{z_1}{z_2})}$ と $\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ を計算して等しくなることを示します。

解答:

(2)

(1)

$\frac{(2+i)(3-2i)}{1+i} = \frac{6-4i+3i-2i^2}{1+i} = \frac{8-i}{1+i} = \frac{(8-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{8-8i-i+i^2}{1-i^2} = \frac{7-9i}{2} = \frac{7}{2} - \frac{9}{2}i$

(2)

$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{2i}{2} = i$

$Re(\frac{1+i}{1-i}) = Re(i) = 0$

(3)

$\frac{3+2i}{2-3i} = \frac{(3+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{6+9i+4i+6i^2}{4-9i^2} = \frac{13i}{13} = i$

$Im(\frac{3+2i}{2-3i}) = Im(i) = 1$

(4)

$|\frac{1}{2+3i}| = \frac{1}{|2+3i|} = \frac{1}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13}$

(5)

$|\frac{2-i}{2+3i}| = \frac{|2-i|}{|2+3i|} = \frac{\sqrt{2^2+(-1)^2}}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}} = \sqrt{\frac{5}{13}} = \frac{\sqrt{65}}{13}$

(3)

(1)

$z_1 = a + bi$, $z_2 = c + di$ とおく。

$\overline{z_1 + z_2} = \overline{(a+c)+(b+d)i} = (a+c)-(b+d)i = (a-bi) + (c-di) = \overline{z_1} + \overline{z_2}$

よって、$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$

(2)

$z_1 = a + bi$, $z_2 = c + di$ とおく。

$\overline{z_1 z_2} = \overline{(a+bi)(c+di)} = \overline{(ac-bd)+(ad+bc)i} = (ac-bd)-(ad+bc)i$

$\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = (a-bi)(c-di) = (ac-bd) - (ad+bc)i$

よって、$\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$

(3)

$z_1 = a + bi$, $z_2 = c + di$ とおく。

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

$\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} - \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

$\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = \frac{a-bi}{c-di} = \frac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)} = \frac{(ac+bd)+(-bc+ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{ad-bc}{c^2+d^2}i = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} - \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

よって、$\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

3. 最終的な答え

(2)

(1) $\frac{7}{2} - \frac{9}{2}i$

(2) $0$

(3) $1$

(4) $\frac{\sqrt{13}}{13}$

(5) $\frac{\sqrt{65}}{13}$

(3)

(1) $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$

(2) $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$

(3) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$