2つの曲線 $y = (x-1)(x+3)$ と $y = -(x-a)^2 - 2$ が接するときの $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = (x-1)(x+3)$ と $y = -(x-a)^2 - 2$ が接するときの $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの式を整理します。

$y = (x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3$

$y = -(x-a)^2 - 2 = -(x^2 - 2ax + a^2) - 2 = -x^2 + 2ax - a^2 - 2$

2つの曲線が接するということは、2つの式を連立させた方程式が重解を持つということです。したがって、

$x^2 + 2x - 3 = -x^2 + 2ax - a^2 - 2$

$2x^2 + 2x - 2ax - 1 + a^2 = 0$

$2x^2 + (2 - 2a)x + (a^2 - 1) = 0$

この2次方程式が重解を持つためには、判別式 $D$ が 0 になる必要があります。

$D = (2 - 2a)^2 - 4(2)(a^2 - 1) = 0$

$4(1 - a)^2 - 8(a^2 - 1) = 0$

$4(1 - 2a + a^2) - 8a^2 + 8 = 0$

$4 - 8a + 4a^2 - 8a^2 + 8 = 0$

$-4a^2 - 8a + 12 = 0$

$a^2 + 2a - 3 = 0$

$(a + 3)(a - 1) = 0$

$a = -3, 1$

3. 最終的な答え

$a = 1, -3$