正の数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。ただし、はさみうちの原理を使用すること。

1. 問題の内容

正の数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。ただし、はさみうちの原理を使用すること。

2. 解き方の手順

まず、数列の極限が存在すると仮定し、その値を $L$ とおく。つまり、$\lim_{n \to \infty} a_n = L$ とする。このとき、$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = L$ も成り立つ。数列の漸化式において、$n \to \infty$ とすると、

$L = \sqrt{L + 7} - 1$

$L + 1 = \sqrt{L + 7}$

$(L + 1)^2 = L + 7$

$L^2 + 2L + 1 = L + 7$

$L^2 + L - 6 = 0$

$(L + 3)(L - 2) = 0$

$L = -3, 2$

数列 $\{a_n\}$ は正の数列なので、極限値 $L$ も正である必要がある。したがって、$L = 2$ が極限の候補である。

次に、数列 $\{a_n\}$ が単調減少であることを示す。

$a_1 = 3$ であり、$a_2 = \sqrt{3+7} - 1 = \sqrt{10} - 1 \approx 3.16 - 1 = 2.16 < a_1 = 3$である。

$a_n > 2$ を仮定する。このとき、$a_{n+1} = \sqrt{a_n+7}-1 > \sqrt{2+7}-1 = 3-1=2$。よって、$a_n > 2$ならば、$a_{n+1} > 2$である。

また、$a_{n+1}-a_n = \sqrt{a_n+7}-1-a_n$。

$f(x) = \sqrt{x+7}-1-x$とおくと、$f(2) = \sqrt{9}-1-2=0$。

$f(x) = 0$となるのは、$x=2$のみである。

また、$a_n > 2$で定義されるので、$a_n=2+\epsilon$となる。

$a_{n+1}-a_n = \sqrt{2+\epsilon+7}-1-(2+\epsilon) = \sqrt{9+\epsilon}-3-\epsilon = \frac{9+\epsilon-9}{\sqrt{9+\epsilon}+3}-\epsilon = \frac{\epsilon}{\sqrt{9+\epsilon}+3}-\epsilon = \epsilon(\frac{1}{\sqrt{9+\epsilon}+3}-1)$.

$\sqrt{9+\epsilon}+3 > 3+3 = 6$なので、$\frac{1}{\sqrt{9+\epsilon}+3} < \frac{1}{6} < 1$である。

よって、$a_{n+1}-a_n < 0$である。すなわち、$a_{n+1} < a_n$が成り立つ。

したがって、数列 $\{a_n\}$ は下に有界な単調減少数列なので、極限を持つ。その極限値は 2 である。

はさみうちの原理を使うという指示があるが、今回は単調性を示すことで極限を求めることができた。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} a_n = 2$