与えられた定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{1} (x^3-1)^4 x^2 dx$ (2) $\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x}-1} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{1} (x^3-1)^4 x^2 dx$

(2) $\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x}-1} dx$

2. 解き方の手順

(1)

置換積分を用います。$u = x^3 - 1$ とおくと、$du = 3x^2 dx$ より、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。$x = 0$ のとき、$u = 0^3 - 1 = -1$、$x = 1$ のとき、$u = 1^3 - 1 = 0$ です。したがって、積分は次のようになります。

$$\int_{0}^{1} (x^3-1)^4 x^2 dx = \int_{-1}^{0} u^4 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{-1}^{0} u^4 du$$

$$\frac{1}{3} \int_{-1}^{0} u^4 du = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{3} \left( \frac{0^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} \right) = \frac{1}{3} \left( 0 - \frac{-1}{5} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$$

(2)

置換積分を用います。$u = e^{-x} - 1$ とおくと、$du = -e^{-x} dx$ より、$e^{-x} dx = -du$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。$x = -2$ のとき、$u = e^{-(-2)} - 1 = e^2 - 1$、$x = -1$ のとき、$u = e^{-(-1)} - 1 = e^1 - 1 = e - 1$ です。したがって、積分は次のようになります。

$$\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x}-1} dx = \int_{e^2-1}^{e-1} \frac{1}{u} (-du) = - \int_{e^2-1}^{e-1} \frac{1}{u} du$$

$$- \int_{e^2-1}^{e-1} \frac{1}{u} du = - \left[ \ln |u| \right]_{e^2-1}^{e-1} = - \left( \ln |e-1| - \ln |e^2-1| \right) = - \left( \ln (e-1) - \ln (e^2-1) \right)$$

$e-1 > 0$ なので、$|e-1| = e-1$ です。また、$e^2 - 1 = (e-1)(e+1) > 0$ なので、$|e^2 - 1| = e^2 - 1$ です。

$$- \left( \ln (e-1) - \ln (e^2-1) \right) = - \left( \ln (e-1) - \ln ((e-1)(e+1)) \right) = - \left( \ln (e-1) - (\ln (e-1) + \ln (e+1)) \right) = - \left( - \ln (e+1) \right) = \ln (e+1)$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{15}$

(2) $\ln(e+1)$