(1) $\int_0^1 (x^3 - 1)^4 x^2 dx$ を計算する。 (2) $\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\int_0^1 (x^3 - 1)^4 x^2 dx$ を計算する。

(2) $\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(x^3 - 1)^4$を展開します。

$(x^3 - 1)^4 = (x^3)^4 - 4(x^3)^3 + 6(x^3)^2 - 4(x^3) + 1 = x^{12} - 4x^9 + 6x^6 - 4x^3 + 1$

したがって、

$(x^3 - 1)^4 x^2 = x^{14} - 4x^{11} + 6x^8 - 4x^5 + x^2$

積分を計算します。

$\int_0^1 (x^{14} - 4x^{11} + 6x^8 - 4x^5 + x^2) dx = [\frac{x^{15}}{15} - \frac{4x^{12}}{12} + \frac{6x^9}{9} - \frac{4x^6}{6} + \frac{x^3}{3}]_0^1$

$= \frac{1}{15} - \frac{4}{12} + \frac{6}{9} - \frac{4}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{15} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$

(2)

$u = e^{-x} - 1$ と置換します。

$\frac{du}{dx} = -e^{-x}$, $dx = \frac{du}{-e^{-x}}$

$\int \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx = \int \frac{e^{-x}}{u} \frac{du}{-e^{-x}} = -\int \frac{1}{u} du = -\ln|u| + C = -\ln|e^{-x} - 1| + C$

積分範囲も変更します。

$x = -2$ のとき $u = e^2 - 1$

$x = -1$ のとき $u = e^1 - 1 = e - 1$

$\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx = [-\ln|e^{-x} - 1|]_{-2}^{-1} = -\ln|e - 1| - (-\ln|e^2 - 1|) = \ln|e^2 - 1| - \ln|e - 1| = \ln|\frac{e^2 - 1}{e - 1}| = \ln|\frac{(e - 1)(e + 1)}{e - 1}| = \ln(e + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{15}$

(2) $\ln(e+1)$