与えられた定積分 $\int_{0}^{t} \frac{x^2}{1+x^4} dx$ を計算する問題です。ただし、画像には途中経過が示されており、この続きを計算する必要があります。与えられた途中式は以下の通りです。 $\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{1}{2}\log|t^2 - \sqrt{2}t+1| + \int_{0}^{t}\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}dx\right]$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{t} \frac{x^2}{1+x^4} dx$

を計算する問題です。ただし、画像には途中経過が示されており、この続きを計算する必要があります。与えられた途中式は以下の通りです。

$\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{1}{2}\log|t^2 - \sqrt{2}t+1| + \int_{0}^{t}\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}dx\right]$

2. 解き方の手順

まず、残りの積分

$\int_{0}^{t}\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{x^2 - \sqrt{2}x + 1}dx$

を計算します。分母を平方完成します。

$x^2 - \sqrt{2}x + 1 = \left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$

したがって、積分は

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{t}\frac{1}{\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}}dx$

となります。ここで、$u = x - \frac{\sqrt{2}}{2}$と置換すると、$du = dx$であり、積分範囲は$-\frac{\sqrt{2}}{2}$から$t - \frac{\sqrt{2}}{2}$に変わります。

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{t - \frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{1}{u^2 + \frac{1}{2}}du$

さらに、$u = \frac{v}{\sqrt{2}}$と置換すると、$du = \frac{1}{\sqrt{2}}dv$となり、積分範囲は-1から$\sqrt{2}t - 1$に変わります。

$\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{-1}^{\sqrt{2}t - 1}\frac{1}{\frac{v^2}{2} + \frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}dv = \int_{-1}^{\sqrt{2}t - 1}\frac{1}{v^2 + 1}dv = \left[\arctan(v)\right]_{-1}^{\sqrt{2}t - 1} = \arctan(\sqrt{2}t - 1) - \arctan(-1) = \arctan(\sqrt{2}t - 1) + \frac{\pi}{4}$

したがって、元の式は

$\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{1}{2}\log|t^2 - \sqrt{2}t+1| + \arctan(\sqrt{2}t - 1) + \frac{\pi}{4}\right]$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4\sqrt{2}}\log(t^2 - \sqrt{2}t+1) + \frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan(\sqrt{2}t - 1) + \frac{\pi}{8\sqrt{2}}$

となります。