(1) 次の無限級数の和を求めよ。 (i) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n-1}}{4^n}$ (ii) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6^n + 2^n}{8^n}$ (2) $k$ は定数とし、$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+8}-k}{x-1} = \alpha$ （極限値 $\alpha$ をもつ）とする。このとき、$k$ と $\alpha$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 次の無限級数の和を求めよ。

(i) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n-1}}{4^n}$

(ii) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6^n + 2^n}{8^n}$

(2) $k$ は定数とし、$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+8}-k}{x-1} = \alpha$ （極限値 $\alpha$ をもつ）とする。このとき、$k$ と $\alpha$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) (i) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n-1}}{4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4} (\frac{3}{4})^{n-1}$

これは初項 $\frac{1}{4}$、公比 $\frac{3}{4}$ の等比数列の無限級数である。

$|\frac{3}{4}| < 1$ なので、収束し、その和は

$\frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = 1$

(ii) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6^n + 2^n}{8^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{6}{8})^n + \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{8})^n = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4})^n + \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n$

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4})^n$ は初項 $\frac{3}{4}$、公比 $\frac{3}{4}$ の等比数列の無限級数であり、$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n$ は初項 $\frac{1}{4}$、公比 $\frac{1}{4}$ の等比数列の無限級数である。

それぞれの和は

$\frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3$

$\frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

よって、和は $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+8}-k}{x-1} = \alpha$

$x \to 1$ のとき、分母 $x-1 \to 0$ なので、極限が存在するためには分子も $0$ に収束する必要がある。

よって、$\sqrt{1+8}-k = \sqrt{9} - k = 3 - k = 0$ より、$k=3$

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+8-9}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+8}+3} = \frac{1}{\sqrt{1+8}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$

よって、$\alpha = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) (i) 1

(ii) $\frac{10}{3}$

(2) $k = 3$, $\alpha = \frac{1}{6}$