与えられた関数の2階導関数を求めます。関数は2つあります。1つ目は $y = \frac{e^x}{e^x + a}$ (ただし、$a$ は正の定数)、2つ目は $y = \sqrt{x^2 + 1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数の2階導関数を求めます。関数は2つあります。1つ目は $y = \frac{e^x}{e^x + a}$ (ただし、$a$ は正の定数)、2つ目は $y = \sqrt{x^2 + 1}$ です。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{e^x}{e^x + a}$ の場合

まず、1階導関数を計算します。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = e^x$ と $v = e^x + a$ とすると、$u' = e^x$ および $v' = e^x$ となります。したがって、

$$y' = \frac{e^x (e^x + a) - e^x e^x}{(e^x + a)^2} = \frac{e^{2x} + a e^x - e^{2x}}{(e^x + a)^2} = \frac{a e^x}{(e^x + a)^2}$$

次に、2階導関数を計算します。再び商の微分公式を用います。

$u = a e^x$ と $v = (e^x + a)^2$ とすると、$u' = a e^x$ および $v' = 2 (e^x + a) e^x = 2e^x (e^x + a)$ となります。したがって、

$$y'' = \frac{a e^x (e^x + a)^2 - a e^x \cdot 2 e^x (e^x + a)}{(e^x + a)^4} = \frac{a e^x (e^x + a) [(e^x + a) - 2 e^x]}{(e^x + a)^4} = \frac{a e^x (a - e^x)}{(e^x + a)^3}$$

(2) $y = \sqrt{x^2 + 1}$ の場合

まず、1階導関数を計算します。合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ を用います。

$y = (x^2 + 1)^{1/2}$ なので、

$$y' = \frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

次に、2階導関数を計算します。商の微分公式を用います。

$u = x$ と $v = \sqrt{x^2 + 1}$ とすると、$u' = 1$ および $v' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ となります。したがって、

$$y'' = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} = \frac{\frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} (x^2 + 1)} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{e^x}{e^x + a}$ のとき、 $y'' = \frac{a e^x (a - e^x)}{(e^x + a)^3}$

(2) $y = \sqrt{x^2 + 1}$ のとき、 $y'' = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$