関数 $f(x) = |x| \cos x$ が $x=0$ で微分可能かどうかを調べる。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x| \cos x$ が $x=0$ で微分可能かどうかを調べる。

2. 解き方の手順

微分可能かどうかを調べるには、左側極限と右側極限を調べる必要があります。

まず、微分可能性の定義を確認します。関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとは、極限

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\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

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が存在することです。

この極限が存在するためには、右側極限と左側極限が一致する必要があります。つまり、

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\lim_{h \to +0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

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である必要があります。

この問題では、$a=0$ なので、

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\lim_{h \to +0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{f(h) - f(0)}{h}

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を調べる必要があります。

$f(x) = |x| \cos x$ なので、$f(0) = |0| \cos 0 = 0$ です。

右側極限：

$h \to +0$ のとき、$|h| = h$ なので、

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\lim_{h \to +0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h \cos h - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \cos h = \cos 0 = 1

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左側極限：

$h \to -0$ のとき、$|h| = -h$ なので、

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\lim_{h \to -0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h \cos h - 0}{h} = \lim_{h \to -0} -\cos h = -\cos 0 = -1

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右側極限は1で、左側極限は-1なので、一致しません。したがって、$f(x)$ は $x=0$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

$f(x) = |x| \cos x$ は $x=0$ で微分可能ではない。