次の不定積分を求め、空欄を埋める問題です。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx = \log(|ア| + \sqrt{イ}) + C$ 選択肢は以下の通りです。 1. $x+2$

1. 問題の内容

次の不定積分を求め、空欄を埋める問題です。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx = \log(|ア| + \sqrt{イ}) + C$

選択肢は以下の通りです。

1. $x+2$

2. $2x+4$

3. $x^2+4x+5$

2. 解き方の手順

まず、積分の中の平方根の中身を平方完成します。

$x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1$

よって、積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2 + 1}} dx$

ここで、$u = x+2$ と置換すると、$du = dx$ なので、

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}} du$

この積分は、$\sinh^{-1}(u)$ の積分または $\log(u + \sqrt{u^2+1})$ となることが知られています。

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}} du = \log(u + \sqrt{u^2+1}) + C$

$u = x+2$ を代入すると、

$\log(x+2 + \sqrt{(x+2)^2+1}) + C = \log(x+2 + \sqrt{x^2+4x+5}) + C$

したがって、$ア = x+2$、$イ = x^2+4x+5$ となります。

3. 最終的な答え

ア:

1. $x+2$

イ:

3. $x^2+4x+5$