定積分 $I = \int_{0}^{1} \log(1+x^2) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_{0}^{1} \log(1+x^2) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って計算します。

$u = \log(1+x^2)$、$dv = dx$ とすると、

$du = \frac{2x}{1+x^2} dx$、$v = x$ となります。

したがって、

$I = \int_{0}^{1} \log(1+x^2) \, dx = [x\log(1+x^2)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{1+x^2} \, dx$

$= \log(2) - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$

$= \log(2) - 2 \int_{0}^{1} \frac{1+x^2-1}{1+x^2} \, dx$

$= \log(2) - 2 \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) \, dx$

$= \log(2) - 2 \left[ x - \arctan(x) \right]_{0}^{1}$

$= \log(2) - 2 \left[ (1 - \arctan(1)) - (0 - \arctan(0)) \right]$

$= \log(2) - 2 \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right)$

$= \log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$