(1) $0 \le x \le \pi$ において、$\vert \cos x \vert = \sin x$ を満たす $x$ を求め、さらに、$0 \le x \le \pi$ において、$\cos(\cos x)$ と $\cos(\sin x)$ の大小を比較せよ。 (2) $\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$, $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos \alpha > \sin \beta$ となることを示し、$0 \le x \le \pi$ において、$\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ を示せ。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $0 \le x \le \pi$ において、$\vert \cos x \vert = \sin x$ を満たす $x$ を求め、さらに、$0 \le x \le \pi$ において、$\cos(\cos x)$ と $\cos(\sin x)$ の大小を比較せよ。

(2) $\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$, $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos \alpha > \sin \beta$ となることを示し、$0 \le x \le \pi$ において、$\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\vert \cos x \vert = \sin x$ を満たす $x$ を求めます。$0 \le x \le \pi$ において、$\sin x \ge 0$ であることに注意します。

(i) $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x \ge 0$ なので、$\cos x = \sin x$ を解きます。これは $\tan x = 1$ を意味し、したがって $x = \frac{\pi}{4}$ です。

(ii) $\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ のとき、$\cos x \le 0$ なので、$-\cos x = \sin x$ を解きます。これは $\tan x = -1$ を意味し、したがって $x = \frac{3\pi}{4}$ です。

よって、$\vert \cos x \vert = \sin x$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ です。

次に、$\cos(\cos x)$ と $\cos(\sin x)$ の大小を比較します。$0 \le x \le \pi$ において、$\cos x$ は $\pi/2$ で対称であり、$x = 0$ で最大値 $1$ をとり、$x = \pi$ で最小値 $-1$ をとります。$\sin x$ は $\pi/2$ で最大値 $1$ をとり、$x=0, \pi$ で最小値 $0$ をとります。

$\cos x$ と $\sin x$ を比較すると、$0 \le x < \frac{\pi}{4}$ では $\cos x > \sin x$、$x = \frac{\pi}{4}$ では $\cos x = \sin x$、$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ では $\cos x < \sin x$、$\frac{\pi}{2} \le x < \frac{3\pi}{4}$ では $\cos x < \sin x$、$x = \frac{3\pi}{4}$ では $\vert\cos x\vert = \sin x$、$\frac{3\pi}{4} < x \le \pi$ では $\vert \cos x \vert > \sin x$ です。

$\cos x$ は減少関数なので、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos x$ が大きいほど$\cos(\cos x)$は小さくなります。

$\sin x$ は増加関数なので、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin x$ が大きいほど$\cos(\sin x)$は小さくなります。

一般に、$f(x)$を減少関数とすると、$a > b$ならば $f(a) < f(b)$となります。

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x$と$\sin x$のどちらが大きいかに応じて、$\cos(\cos x)$と$\cos(\sin x)$の大小関係が変化します。

ここで、$0 \le x \le \pi$ に対して $\cos x$ と $\sin x$ を比較すると、

$0 \le x \le \pi/4$ のとき、$\cos x \ge \sin x$ なので、$\cos(\cos x) \le \cos(\sin x)$

$\pi/4 \le x \le \pi/2$ のとき、$\cos x \le \sin x$ なので、$\cos(\cos x) \ge \cos(\sin x)$

$\pi/2 \le x \le 3\pi/4$ のとき、$\vert\cos x\vert \le \sin x$ なので、$\cos(\cos x) \ge \cos(\sin x)$

$3\pi/4 \le x \le \pi$ のとき、$\vert\cos x\vert \ge \sin x$ なので、$\cos(\cos x) \le \cos(\sin x)$

厳密な比較は難しいですが、一般的に $\cos x$ は $x = 0$ で最大値 $1$ をとり、$\sin x$ は $x = \frac{\pi}{2}$ で最大値 $1$ をとることを考慮すると、$0 \le x \le \pi$ の範囲では $\cos(\cos x) > \cos(\sin x)$ となることが多いです。

(2)

$\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$, $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\beta < \frac{\pi}{2} - \alpha$ なので、

$\sin \beta < \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$ となります。したがって、$\cos \alpha > \sin \beta$ が成り立ちます。

次に、$0 \le x \le \pi$ において、$\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ を示します。

$\alpha = \cos x$, $\beta = \sin x$ とおくと、$\alpha^2 + \beta^2 = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$ です。

$\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$ であるので、$\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ を示すことができれば、上記の議論より $\cos \alpha > \sin \beta$ が示せます。しかし、$\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ は一般には成り立ちません。

ここで、$0 \le x \le \pi$ より $-1 \le \cos x \le 1$ かつ $0 \le \sin x \le 1$ です。

$\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ を示すために、$\sin(\sin x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \sin x)$ と変形すると、$\cos(\cos x) > \cos(\frac{\pi}{2} - \sin x)$ を示すことになります。

$\cos x < \frac{\pi}{2} - \sin x$ を示せば良い。$\cos x + \sin x < \frac{\pi}{2}$を示す。

$\cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ なので、$x = \frac{\pi}{4}$ で最大値 $\sqrt{2} \approx 1.414$ をとる。

$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ なので、$\cos x + \sin x < \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。

したがって、$\cos(\cos x) > \cos(\frac{\pi}{2} - \sin x)$ より $\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ が示されました。

3. 最終的な答え

(1) $\vert \cos x \vert = \sin x$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ です。$\cos(\cos x) > \cos(\sin x)$

(2) $\cos \alpha > \sin \beta$ は示された。$\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ は示された。