定積分 $I = \int_{1}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_{1}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を指数を用いて書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{x^{2/3}} = x^{-2/3}$

したがって、

$I = \int_{1}^{8} x^{-2/3} dx$

$x^{-2/3}$ の不定積分は

$\int x^{-2/3} dx = \frac{x^{(-2/3)+1}}{(-2/3)+1} + C = \frac{x^{1/3}}{1/3} + C = 3x^{1/3} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

したがって、定積分は

$I = \left[ 3x^{1/3} \right]_{1}^{8} = 3(8^{1/3}) - 3(1^{1/3}) = 3(2) - 3(1) = 6 - 3 = 3$

3. 最終的な答え

$I = 3$