次の3つの不定積分を計算します。 a) $\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx$ b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$ c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を計算します。

a) $\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx$

b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$

c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

2. 解き方の手順

a) $\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx$

まず、被積分関数を多項式と真分数に分けます。

$x^3 = x(x^2 - 1) + x$

$\frac{x^3}{x^2 - 1} = x + \frac{x}{x^2 - 1}$

したがって、

$\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx = \int x dx + \int \frac{x}{x^2 - 1} dx$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$

次に、$\int \frac{x}{x^2 - 1} dx$ を計算します。

$u = x^2 - 1$ とすると、$du = 2x dx$

$\int \frac{x}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C_2$

よって、

$\int \frac{x^3}{x^2 - 1} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C$

b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

$1 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$

$x=0$のとき、$1 = A(1)^2 \implies A = 1$

$x=-1$のとき、$1 = C(-1) \implies C = -1$

$1 = (x+1)^2 + Bx(x+1) - x = x^2 + 2x + 1 + Bx^2 + Bx - x$

$1 = (1+B)x^2 + (1+B)x + 1$

$1+B = 0 \implies B = -1$

したがって、

$\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}$

$\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx - \int \frac{1}{(x+1)^2} dx$

$= \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C$

c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$

$x = A(x-2) + B(x+1)$

$x=-1$のとき、$-1 = A(-3) \implies A = \frac{1}{3}$

$x=2$のとき、$2 = B(3) \implies B = \frac{2}{3}$

したがって、

$\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{2/3}{x-2}$

$\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x-2} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-2| + C$

3. 最終的な答え

a) $\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C$

b) $\ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C$

c) $\frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-2| + C$