与えられた関数 $f(x) = -x^2 + 4x$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 放物線 $C: y = f(x)$ と x軸の交点のうち、原点Oでない方の点Aの座標を求める。 (2) x軸とCが囲む部分の面積を求める。 (3) C上の点P(t, -t^2 + 4t) におけるCの接線lの方程式を求め、lが点(1,7)を通る時のtの値を求める。さらに、(1,7)を通りCに接する直線で、傾きが正であるものを求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = -x^2 + 4x$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 放物線 $C: y = f(x)$ と x軸の交点のうち、原点Oでない方の点Aの座標を求める。

(2) x軸とCが囲む部分の面積を求める。

(3) C上の点P(t, -t^2 + 4t) におけるCの接線lの方程式を求め、lが点(1,7)を通る時のtの値を求める。さらに、(1,7)を通りCに接する直線で、傾きが正であるものを求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -x^2 + 4x = -x(x-4)$ なので、$f(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = 4$ のとき。

したがって、点Aの座標は (4,0)。

(2) x軸とCが囲む部分の面積は、$\int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) dx$ を計算することで求められる。

$\int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2]_0^4 = (-\frac{64}{3} + 32) - 0 = \frac{-64 + 96}{3} = \frac{32}{3}$

(3)

まず、$f'(x)$を求める。$f'(x) = -2x + 4$。

したがって、5=2, 6=4

点Pにおける接線の方程式は、

$y - (-t^2 + 4t) = f'(t)(x-t) = (-2t+4)(x-t)$

$y = (-2t+4)x - t(-2t+4) - t^2 + 4t = (-2t+4)x + 2t^2 - 4t - t^2 + 4t = (-2t+4)x + t^2$

したがって、7=2, 8=4, 9=2

lが点(1,7)を通るとき、

$7 = (-2t+4)(1) + t^2$

$t^2 - 2t + 4 = 7$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t-3)(t+1) = 0$

$t=3, -1$

したがって、10=3, 11= -1

t=3のとき、接線の方程式は$y = (-2(3)+4)x + 3^2 = -2x + 9$

t=-1のとき、接線の方程式は$y = (-2(-1)+4)x + (-1)^2 = 6x + 1$

求めるものは傾きが正であるものなので、$y = 6x + 1$

したがって、12=6, 13=1

3. 最終的な答え

(1) A(4,0)

(2) 32/3

(3)

f'(x) = -2x + 4

y = (-2t+4)x + t^2

t=3, -1

y = 6x + 1