与えられた数列 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}, \{d_n\}, \{t_n\}, \{u_n\}$ に対して、以下の和をそれぞれ求める問題です。ただし、$\{u_n\}$ は第 $m$ 群が $m^3$ 個の項を含むように区分されています。 (1) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k}$ (3) $\sum_{k=1}^{n} t_k$ (4) $\sum_{k=1}^{n} a_k d_k$ (5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k c_k}$ (6) $\sum_{k=1}^{n} k^2 d_k$ (7) $\sum_{k=1}^{2025} \frac{u_k}{k^3}$

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}, \{d_n\}, \{t_n\}, \{u_n\}$ に対して、以下の和をそれぞれ求める問題です。ただし、$\{u_n\}$ は第 $m$ 群が $m^3$ 個の項を含むように区分されています。

(1) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} t_k$

(4) $\sum_{k=1}^{n} a_k d_k$

(5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k c_k}$

(6) $\sum_{k=1}^{n} k^2 d_k$

(7) $\sum_{k=1}^{2025} \frac{u_k}{k^3}$

2. 解き方の手順

まず、各数列の一般項を求めます。

* $\{a_n\}$: 等差数列で、初項 $a_1 = 1$, 公差 $d = 2$ なので、$a_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$.

* $\{b_n\}$: 等差数列で、初項 $b_1 = 3$, 公差 $d = 2$ なので、$b_n = 3 + (n-1)2 = 2n + 1$.

* $\{c_n\}$: 等差数列で、初項 $c_1 = 5$, 公差 $d = 2$ なので、$c_n = 5 + (n-1)2 = 2n + 3$.

* $\{d_n\}$: 等比数列で、初項 $d_1 = 2$, 公比 $r = 2$ なので、$d_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$.

$\{t_n\}$ は $t_1 = 2, t_2 = 6, t_3 = 14, t_4 = 26, t_5 = 42, t_6 = 62, \dots$ です。階差数列を考えると $4, 8, 12, 16, 20, \dots$ となるので、階差数列は $4n$ となります。

$t_n = t_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4k = 2 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 2 + 2n(n-1) = 2n^2 - 2n + 2 = 2(n^2 - n + 1)$

$\{u_n\}$ は群数列で、第 $m$ 群の項数が $m^3$ 個です。第 $m$ 群の各項は $2m$ です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n = \frac{n(4n^2+6n+2-3)}{3} = \frac{n(4n^2+6n-1)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} 2(k^2 - k + 1) = 2\sum_{k=1}^{n} (k^2 - k + 1) = 2 \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + n \right) = 2 \left( \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + 6n}{6} \right) = \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + 6n}{3} = \frac{n(2n^2+3n+1 - 3n - 3 + 6)}{3} = \frac{n(2n^2+4)}{3} = \frac{2n(n^2+2)}{3}$

$n = 2025$ のとき、$\sum_{k=1}^{2025} t_k = \frac{2 \cdot 2025 (2025^2 + 2)}{3} = 13781454150$

(4) $\sum_{k=1}^{n} a_k d_k = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)2^k = \sum_{k=1}^{n} k 2^{k+1} - \sum_{k=1}^{n} 2^k$

$\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(2^n-1)}{2-1} = 2^{n+1} - 2$.

$S = \sum_{k=1}^{n} k 2^{k+1} = 2 \sum_{k=1}^{n} k 2^k = 2 (2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n)$

$2S = 2(2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \dots + (n-1) 2^n + n \cdot 2^{n+1})$

$-S = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - n \cdot 2^{n+1} = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} - n 2^{n+1} = 2^{n+1} - 2 - n 2^{n+1}$

$S = (n-1) 2^{n+1} + 2$.

$\sum_{k=1}^{n} a_k d_k = (n-1)2^{n+1} + 2 - (2^{n+1} - 2) = (n-2)2^{n+1} + 4$

(5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k c_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{8} \left( \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} - \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{1\cdot 3} - \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n^2+8n+3} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{4n^2+8n+3 - 3}{3(4n^2+8n+3)} \right) = \frac{n(n+2)}{6(4n^2+8n+3)}$

(6) $\sum_{k=1}^{n} k^2 d_k = \sum_{k=1}^{n} k^2 2^k$. これは、少し複雑です。

(7) $\sum_{k=1}^{2025} \frac{u_k}{k^3}$ を計算します。$2025 = 45^2$ です。したがって、第 $m$ 群の項数は $m^3$ なので、 $2025 \neq n^3$ です.

$1^3 + 2^3 + \dots + m^3 = (\frac{m(m+1)}{2})^2$

$n = \sum_{i=1}^{m} i^3$ となる $n$ までの和を計算します。$\sum_{i=1}^{12} i^3 = (\frac{12 \times 13}{2})^2 = 78^2 = 6084$. $\sum_{i=1}^{6} i^3=441$.

$1+8+27+64+125+216+...$

$m$ 群まで完全に含む $u_k$ について、その和は $2m\sum_{k=1}^{m} 1/k^3 \sum_{i=1}^{m} i^3$

$\{u_n\}$ の数列の和を群に分けて考えます。

$m=1$ の群には $1^3 = 1$ 個の項があり、その値は $2(1) = 2$ です。

$m=2$ の群には $2^3 = 8$ 個の項があり、その値は $2(2) = 4$ です。

$m=3$ の群には $3^3 = 27$ 個の項があり、その値は $2(3) = 6$ です。

$k=1,...,2025$

$\sum_{k=1}^{2025} \frac{u_k}{k^3} = \sum_{m=1}^{n} \sum_{i=1}^{m^3} \frac{2m}{i^3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}$

(2) $\frac{n}{2n+1}$

(3) $13781454150$

(4) $(n-2)2^{n+1} + 4$

(5) $\frac{n(n+2)}{6(4n^2+8n+3)}$

(6) $\sum_{k=1}^{n} k^2 2^k$

(7) $\sum_{k=1}^{2025} \frac{u_k}{k^3} = \sum_{m=1}^{n} \sum_{i=1}^{m^3} \frac{2m}{i^3}$ （ここで n を決定する必要があります。）