次の定積分を計算します。 $I = \int_1^2 \frac{2}{x(x+2)} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$I = \int_1^2 \frac{2}{x(x+2)} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{2}{x(x+2)}$ を部分分数分解します。

$\frac{2}{x(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}$とおきます。

両辺に$x(x+2)$を掛けると、

$2 = A(x+2) + Bx$

$2 = (A+B)x + 2A$

係数比較をして、$A+B=0$かつ$2A=2$となるので、$A=1$、$B=-1$です。

よって、$\frac{2}{x(x+2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}$となります。

したがって、積分は

$I = \int_1^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= \left[ \ln |x| - \ln |x+2| \right]_1^2$

$= \left[ \ln \left| \frac{x}{x+2} \right| \right]_1^2$

$= \ln \left( \frac{2}{4} \right) - \ln \left( \frac{1}{3} \right)$

$= \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{3}$

$= \ln \frac{1/2}{1/3}$

$= \ln \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\ln \frac{3}{2}$