積分 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

積分 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$1 - \cos 2x$ を三角関数の公式を使って変形します。

$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ という公式を用いると、

$1 - \cos 2x = 1 - (1 - 2 \sin^2 x) = 2 \sin^2 x$

したがって、

$\sqrt{1 - \cos 2x} = \sqrt{2 \sin^2 x} = \sqrt{2} |\sin x|$

積分区間 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ において $\sin x \geq 0$ であるから、 $|\sin x| = \sin x$ となります。

よって、$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2} \sin x \, dx$ を計算すればよいです。

$\int \sin x \, dx = - \cos x + C$ であるから、

$I = \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \sqrt{2} [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$I = \sqrt{2} \left(-\cos \frac{\pi}{2} - (-\cos 0)\right) = \sqrt{2} (-0 + 1) = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$