(1) $0 \le x \le \pi$ において、$|\cos x| = \sin x$ を満たす $x$ を求め、同じ範囲で $\cos(\cos x)$ と $\cos(\sin x)$ の大小を比較する。 (2) $\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$, $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos \alpha > \sin \beta$ となることを示し、$0 \le x \le \pi$ において、$\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ を示す。

1. 問題の内容

(1) $0 \le x \le \pi$ において、$|\cos x| = \sin x$ を満たす $x$ を求め、同じ範囲で $\cos(\cos x)$ と $\cos(\sin x)$ の大小を比較する。

(2) $\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$, $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos \alpha > \sin \beta$ となることを示し、$0 \le x \le \pi$ において、$\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ を示す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$|\cos x| = \sin x$ を満たす $x$ を求める。

$0 \le x \le \pi$ であるから、$\sin x \ge 0$ である。

(i) $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x \ge 0$ なので $|\cos x| = \cos x$ となり、$\cos x = \sin x$ を解けばよい。これは $x = \frac{\pi}{4}$ である。

(ii) $\frac{\pi}{2} < x \le \pi$ のとき、$\cos x < 0$ なので $|\cos x| = -\cos x$ となり、$-\cos x = \sin x$ を解けばよい。これは $\tan x = -1$ と同値であり、$x = \frac{3\pi}{4}$ である。

したがって、$|\cos x| = \sin x$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ である。

次に、$\cos(\cos x)$ と $\cos(\sin x)$ の大小を比較する。

$0 \le x \le \pi$ において、$0 \le \sin x \le 1$ かつ $-1 \le \cos x \le 1$ である。

$0 \le x \le \pi$ において、$\sin x$ は $x = \frac{\pi}{2}$ で最大値1を取り、それ以外では $0 \le \sin x < 1$ である。一方、$\cos x$ は $x = 0$ で最大値1を取り、$x = \pi$ で最小値-1を取る。

ここで、$f(x) = \cos x$ は、$x=0$ 付近では減少関数である。

$0 \le x \le \pi$ において、$-1 \le \cos x \le 1$ と $0 \le \sin x \le 1$ である。

$\cos x$ は $x$ が増加するにつれて減少する。一方、$\sin x$ は $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ で増加し、$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ で減少する。

$0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x > 0$ かつ $\sin x > 0$ である。また、$\cos x$ は減少関数なので、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ ならば $\cos x < 1$ である。

$0 \le x \le \pi$ において、常に $\sin x \ge 0$ が成り立つ。また、$-\pi/2 \le \cos x \le \pi/2$ である。

$\sin x$ の最大値は 1 であり、$\cos x$ の最大値は 1 である。

$\cos x$ と $\sin x$ の大小関係を考えると、区間によって異なる。

$0 \le x < \pi/4$ では $\cos x > \sin x$

$x = \pi/4$ では $\cos x = \sin x$

$\pi/4 < x < \pi/2$ では $\cos x < \sin x$

$x = \pi/2$ では $\cos x = 0, \sin x = 1$

関数 $\cos t$ は $t = 0$ 近傍で減少関数である。

$0 \le x \le \pi$ において、$\cos x$ は最大でも1なので、$\cos x < 2$が成り立つ。

$\cos(\cos x)$ と $\cos(\sin x)$ を比較する。$\cos(\cos x)$ は $\cos x$ が小さいほど大きくなる。

$\cos(\sin x)$ は $\sin x$ が小さいほど大きくなる。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos(\cos x) = \cos(0) = 1$ であり、$\cos(\sin x) = \cos(1)$ である。

$1 > \cos(1)$ であるから、$\cos(\cos x) > \cos(\sin x)$ である。

(2)

$\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$, $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos \alpha > \sin \beta$ を示す。

$\sin \beta = \cos(\frac{\pi}{2} - \beta)$ である。したがって、$\cos \alpha > \cos(\frac{\pi}{2} - \beta)$ を示せばよい。

$\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ より、$\alpha < \frac{\pi}{2} - \beta$ である。

$\cos x$ は $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ で減少関数であるから、$\alpha < \frac{\pi}{2} - \beta$ ならば $\cos \alpha > \cos(\frac{\pi}{2} - \beta)$ が成り立つ。したがって、$\cos \alpha > \sin \beta$ である。

次に、$0 \le x \le \pi$ において、$\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ を示す。

$\alpha = \cos x$ と $\beta = \sin x$ とおく。

$0 \le x \le \pi$ より、$-1 \le \cos x \le 1$ かつ $0 \le \sin x \le 1$ である。

$\cos x \ge 0$ のとき、$(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$ であるから $\alpha^2 + \beta^2 = 1$ となる。

$\cos x < 0$ のとき、$-\cos x = |\cos x|$ である。

$\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ を示す必要がある。$\alpha = \cos x$ と $\beta = \sin x$ であるから、$\cos x + \sin x < \frac{\pi}{2}$ を示す。

$\cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ である。$0 \le x \le \pi$ より $\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$ である。

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ なので、$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2} \approx 1.414$ である。

$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ であるから、$\sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$ である。したがって、$\cos x + \sin x < \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。

$\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ が示された。

3. 最終的な答え

(1) $|\cos x| = \sin x$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ である。また、$\cos(\cos x) > \cos(\sin x)$ である。

(2) $\cos(\cos x) > \sin(\sin x)$ である。