定積分 $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} e^{-x} \sin x \, dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} e^{-x} \sin x \, dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

部分積分を2回行う。

まず、$u = \sin x$、$dv = e^{-x} dx$ とおくと、$du = \cos x \, dx$、$v = -e^{-x}$となる。

したがって、

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x}) \cos x \, dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx$

次に、$\int e^{-x} \cos x \, dx$を部分積分で計算する。

$u = \cos x$、$dv = e^{-x} dx$ とおくと、$du = -\sin x \, dx$、$v = -e^{-x}$となる。

したがって、

$\int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int (-e^{-x}) (-\sin x) \, dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx$

よって、

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x + (-e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx)$

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx$

$2 \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} (\sin x + \cos x)$

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C$

したがって、

$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} e^{-x} \sin x \, dx = \left[ -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}$

$I = -\frac{1}{2} e^{-\frac{3\pi}{4}} \left( \sin \frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{4} \right) - \left( -\frac{1}{2} e^{-\frac{\pi}{2}} \left( \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} \right) \right)$

$I = -\frac{1}{2} e^{-\frac{3\pi}{4}} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \frac{1}{2} e^{-\frac{\pi}{2}} (1 + 0)$

$I = 0 + \frac{1}{2} e^{-\frac{\pi}{2}}$

$I = \frac{1}{2} e^{-\frac{\pi}{2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} e^{-\frac{\pi}{2}}$