(1) $0 < a < b$ のとき、$1 - \frac{a}{b} < \log \frac{b}{a} < \frac{b}{a} - 1$ が成り立つことを示す。 (2) $\alpha < \beta$ のとき、$|e^\beta \sin \beta - e^\alpha \sin \alpha| < \sqrt{2}(\beta - \alpha)e^\beta$ が成り立つことを示す。 (3) 閉区間$[0, 1]$上で定義された連続関数$h(x)$が、開区間$(0, 1)$で微分可能であり、この区間で常に$h'(x) < 0$ であるとする。このとき、$h(x)$が区間$[0, 1]$で単調に減少することを示す。

1. 問題の内容

(1) $0 < a < b$ のとき、$1 - \frac{a}{b} < \log \frac{b}{a} < \frac{b}{a} - 1$ が成り立つことを示す。

(2) $\alpha < \beta$ のとき、$|e^\beta \sin \beta - e^\alpha \sin \alpha| < \sqrt{2}(\beta - \alpha)e^\beta$ が成り立つことを示す。

(3) 閉区間$[0, 1]$上で定義された連続関数$h(x)$が、開区間$(0, 1)$で微分可能であり、この区間で常に$h'(x) < 0$ であるとする。このとき、$h(x)$が区間$[0, 1]$で単調に減少することを示す。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x) = \log x$ を考える。平均値の定理より、

$\frac{f(b/a) - f(1)}{b/a - 1} = f'(c)$

となる $c \in (1, b/a)$ が存在する。

$f(b/a) = \log(b/a)$, $f(1) = \log 1 = 0$, $f'(x) = \frac{1}{x}$ であるから、

$\frac{\log(b/a)}{b/a - 1} = \frac{1}{c}$

となる $c \in (1, b/a)$ が存在する。

$1 < c < b/a$ より $a/b < 1/c < 1$。したがって、

$\frac{a}{b} < \frac{\log(b/a)}{b/a - 1} < 1$

$\frac{a}{b} (b/a - 1) < \log(b/a) < b/a - 1$

$1 - a/b < \log(b/a) < b/a - 1$

(2)

関数 $f(x) = e^x \sin x$ を考える。平均値の定理より、

$\frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = f'(c)$

となる $c \in (\alpha, \beta)$ が存在する。

$f(x) = e^x \sin x$ より、$f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$

したがって、

$\frac{e^\beta \sin \beta - e^\alpha \sin \alpha}{\beta - \alpha} = e^c (\sin c + \cos c)$

となる $c \in (\alpha, \beta)$ が存在する。

$|e^\beta \sin \beta - e^\alpha \sin \alpha| = |(\beta - \alpha) e^c (\sin c + \cos c)|$

$|e^\beta \sin \beta - e^\alpha \sin \alpha| = (\beta - \alpha) e^c |\sin c + \cos c|$

ここで、 $|\sin c + \cos c| = |\sqrt{2} \sin (c + \frac{\pi}{4})| \leq \sqrt{2}$

したがって、

$|e^\beta \sin \beta - e^\alpha \sin \alpha| \leq (\beta - \alpha) e^c \sqrt{2}$

$c < \beta$ であるから、$e^c < e^\beta$

$|e^\beta \sin \beta - e^\alpha \sin \alpha| < \sqrt{2}(\beta - \alpha) e^\beta$

(3)

$x, y \in [0, 1]$ かつ $x < y$ とする。平均値の定理より、

$\frac{h(y) - h(x)}{y - x} = h'(c)$

となる $c \in (x, y) \subset (0, 1)$ が存在する。

$h'(c) < 0$ より、$\frac{h(y) - h(x)}{y - x} < 0$

$x < y$ より $y - x > 0$ であるから、$h(y) - h(x) < 0$

したがって、$h(y) < h(x)$。これは、$x < y$ ならば $h(x) > h(y)$ であることを意味し、$h(x)$ は区間$[0, 1]$で単調減少である。

3. 最終的な答え

(1) $1 - \frac{a}{b} < \log \frac{b}{a} < \frac{b}{a} - 1$ が成り立つ。

(2) $|e^\beta \sin \beta - e^\alpha \sin \alpha| < \sqrt{2}(\beta - \alpha)e^\beta$ が成り立つ。

(3) $h(x)$ は区間$[0, 1]$で単調に減少する。