(1) $f(x, y) = \sin^{-1}(xy)$ の2階偏導関数を求める。 (2) $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $f(x, y) = \sin^{-1}(xy)$ の2階偏導関数を求める。

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = \arcsin(xy)$ の2階偏導関数を求める。

まず、1階偏導関数を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{\sqrt{1 - (xy)^2}}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{\sqrt{1 - (xy)^2}}$

次に、2階偏導関数を計算する。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{\sqrt{1 - (xy)^2}} \right) = y \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) (1 - (xy)^2)^{-\frac{3}{2}} (-2xy^2) = \frac{xy^3}{(1 - (xy)^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{\sqrt{1 - (xy)^2}} \right) = x \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) (1 - (xy)^2)^{-\frac{3}{2}} (-2x^2y) = \frac{x^3y}{(1 - (xy)^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{\sqrt{1 - (xy)^2}} \right) = \frac{\sqrt{1 - (xy)^2} - x \cdot \frac{1}{2} (1 - (xy)^2)^{-\frac{1}{2}} (-2xy)}{\left( \sqrt{1 - (xy)^2} \right)^2} = \frac{\sqrt{1 - (xy)^2} + \frac{x^2y}{\sqrt{1 - (xy)^2}}}{1 - (xy)^2} = \frac{1 - (xy)^2 + x^2y}{(1 - (xy)^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(1-(xy)^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{\sqrt{1 - (xy)^2}} \right) = \frac{\sqrt{1 - (xy)^2} - y \cdot \frac{1}{2} (1 - (xy)^2)^{-\frac{1}{2}} (-2x^2y)}{\left( \sqrt{1 - (xy)^2} \right)^2} = \frac{\sqrt{1 - (xy)^2} + \frac{x^2y^2}{\sqrt{1 - (xy)^2}}}{1 - (xy)^2} = \frac{1 - (xy)^2 + x^2y^2}{(1 - (xy)^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(1-(xy)^2)^{3/2}}$

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求める。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2 + 2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{xy^3}{(1 - (xy)^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{x^3y}{(1 - (xy)^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{1}{(1 - (xy)^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{1}{(1 - (xy)^2)^{\frac{3}{2}}}$

(2) 0