ベクトル $\vec{F}=(3,2,4)$ と $\vec{G}=(1,5,3)$ が与えられたとき、以下の計算を行います。 (1) $\vec{F} \times \vec{G}$ (ベクトルの外積) を計算する。 (2) $\vec{G} \cdot (\vec{F} \times \vec{G})$ (ベクトルのスカラー三重積) を計算する。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{F}=(3,2,4)$ と $\vec{G}=(1,5,3)$ が与えられたとき、以下の計算を行います。

(1) $\vec{F} \times \vec{G}$ (ベクトルの外積) を計算する。

(2) $\vec{G} \cdot (\vec{F} \times \vec{G})$ (ベクトルのスカラー三重積) を計算する。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの外積 $\vec{F} \times \vec{G}$ は次のように計算します。

$\vec{F} \times \vec{G} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \times 3) - (4 \times 5) \\ (4 \times 1) - (3 \times 3) \\ (3 \times 5) - (2 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 20 \\ 4 - 9 \\ 15 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 \\ -5 \\ 13 \end{pmatrix}$

(2) スカラー三重積 $\vec{G} \cdot (\vec{F} \times \vec{G})$ は、$\vec{F} \times \vec{G}$ の結果と $\vec{G}$ の内積として計算します。

$\vec{G} \cdot (\vec{F} \times \vec{G}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -14 \\ -5 \\ 13 \end{pmatrix} = (1 \times -14) + (5 \times -5) + (3 \times 13) = -14 - 25 + 39 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{F} \times \vec{G} = \begin{pmatrix} -14 \\ -5 \\ 13 \end{pmatrix}$

(2) $\vec{G} \cdot (\vec{F} \times \vec{G}) = 0$