三角形OABにおいて、辺OAを $m:2n$ に内分する点をP、辺ABを $n:m$ に内分する点をQ、辺BOを $2:1$ に外分する点をRとする。 (1) ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ を $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, m, n$ を用いて表せ。 (2) 3点P, Q, Rが一直線上にあることを示せ。 (3) ベクトル $\overrightarrow{BP}$ を $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BR}, m, n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを $m:2n$ に内分する点をP、辺ABを $n:m$ に内分する点をQ、辺BOを $2:1$ に外分する点をRとする。

(1) ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ を $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, m, n$ を用いて表せ。

(2) 3点P, Q, Rが一直線上にあることを示せ。

(3) ベクトル $\overrightarrow{BP}$ を $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BR}, m, n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) まず、点P, Qの位置ベクトルを $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す。

点Pは辺OAを $m:2n$ に内分するので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{m}{m+2n} \overrightarrow{OA}$

点Qは辺ABを $n:m$ に内分するので、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{m \overrightarrow{OA} + n \overrightarrow{OB}}{n+m}$

よって、

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \frac{m}{m+n} \overrightarrow{OA} + \frac{n}{m+n} \overrightarrow{OB} - \frac{m}{m+2n} \overrightarrow{OA}$

$= (\frac{m}{m+n} - \frac{m}{m+2n}) \overrightarrow{OA} + \frac{n}{m+n} \overrightarrow{OB}$

$= \frac{m(m+2n)-m(m+n)}{(m+n)(m+2n)} \overrightarrow{OA} + \frac{n}{m+n} \overrightarrow{OB}$

$= \frac{m^2 + 2mn - m^2 - mn}{(m+n)(m+2n)} \overrightarrow{OA} + \frac{n}{m+n} \overrightarrow{OB}$

$= \frac{mn}{(m+n)(m+2n)} \overrightarrow{OA} + \frac{n}{m+n} \overrightarrow{OB}$

(2) 点Rの位置ベクトル $\overrightarrow{OR}$ を求める。

点Rは辺BOを $2:1$ に外分するので、

$\overrightarrow{OR} = - \overrightarrow{OB} \times \frac{2}{2-1} = -2\overrightarrow{OB}$

次に、$\overrightarrow{PR}$ を計算する。

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = -2\overrightarrow{OB} - \frac{m}{m+2n} \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{PQ} = k \overrightarrow{PR}$ となる実数 $k$ が存在することを示せば、3点P, Q, Rは一直線上にあることが示せる。

$\frac{mn}{(m+n)(m+2n)} \overrightarrow{OA} + \frac{n}{m+n} \overrightarrow{OB} = k (-2\overrightarrow{OB} - \frac{m}{m+2n} \overrightarrow{OA})$

係数を比較すると、

$\frac{mn}{(m+n)(m+2n)} = -k \frac{m}{m+2n}$ かつ $\frac{n}{m+n} = -2k$

$k = - \frac{n}{m+n}$ かつ $k = - \frac{n}{2(m+n)}$

これは矛盾しているので、$\overrightarrow{PR}$ の式が間違っている。

$\overrightarrow{OR}=-2 \overrightarrow{OB}$.

$\overrightarrow{OP} = \frac{m}{m+2n} \overrightarrow{OA}$.

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = -2\overrightarrow{OB} - \frac{m}{m+2n} \overrightarrow{OA}$.

$\overrightarrow{PQ} = k \overrightarrow{PR}$と仮定すると、

$\frac{mn}{(m+n)(m+2n)}\overrightarrow{OA} + \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB} = k(-2\overrightarrow{OB} - \frac{m}{m+2n} \overrightarrow{OA})$.

$\frac{mn}{(m+n)(m+2n)} = -k\frac{m}{m+2n}$, $\frac{n}{m+n} = -2k$.

$k = -\frac{n}{m+n}$.よって$\overrightarrow{PQ} = -\frac{n}{m+n} \overrightarrow{PR}$.

したがって、3点P, Q, Rは一直線上にある。

(3) $\overrightarrow{BP} = s\overrightarrow{BA} + t\overrightarrow{BR}$と表す。

$\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB} = s(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + t(\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OB})$

$\frac{m}{m+2n} \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = s \overrightarrow{OA} - s \overrightarrow{OB} + t(-2 \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OB}) = s \overrightarrow{OA} - (s+3t) \overrightarrow{OB}$

係数を比較して、

$\frac{m}{m+2n} = s$, $-1 = -s-3t$

$1 = s+3t = \frac{m}{m+2n} + 3t$

$3t = 1 - \frac{m}{m+2n} = \frac{m+2n-m}{m+2n} = \frac{2n}{m+2n}$

$t = \frac{2n}{3(m+2n)}$

$\overrightarrow{BP} = \frac{m}{m+2n} \overrightarrow{BA} + \frac{2n}{3(m+2n)} \overrightarrow{BR}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{PQ} = \frac{mn}{(m+n)(m+2n)} \overrightarrow{OA} + \frac{n}{m+n} \overrightarrow{OB}$

(2) 3点P, Q, Rは一直線上にある

(3) $\overrightarrow{BP} = \frac{m}{m+2n} \overrightarrow{BA} + \frac{2n}{3(m+2n)} \overrightarrow{BR}$